روه سه نفر ریاضی دانان هندی برای غلبه بر مشكل به هر دری زدند و با بررسی مقالات مختلف بالاخره دریافتند كه در سال ‪ ۱۹۸۵‬یك ریاضی‌دان فرانسوی به نام اتن فووری از دانشگاه پاریس ‪ ۱۱‬این نكته را به صورت ریاضی اثبات كرده است. به این ترتیب آخرین بخش معما حل شد و آلگوریتم پیشنهادی این سه نفر با موفقیت پا به عرصه گذارد.

اما این موفقیت "مشروط" بود. به این معنی كه این روش برای اعداد اولی كه انسان در حال حاضر می‌توان به سراغ آنها برود از كارآیی چندانی برخوردار نیست. در روایت اولیه روش پیشنهادی، زمان لازم برای محاسبات كه متناسب با ارقام عدد اول مورد نظر بود، با آهنگ ‪ ۱۰۱۲‬ازدیاد پیدا می كرد.

در روایتهای بهبود یافته اخیر این روش، سرعت ازدیاد زمان لازم برای محاسبات به ‪ ۱۰۷.۵‬كاهش یافته اما حتی در این حالت نیز این روش در مقایسه با روش آ پی آر تنها در هنگامی موثر تر خواهد بود كه تعداد ارقام عدد اولی كه قصد شكار و یافتن آن را داریم در حدود ‪ ۱۰۱۰۰۰‬باشد.

اعدادی تا این اندازه بزرگ در حافظه هیچ كامپیوتر جای نمی‌گیرند و حتی آن را نمی‌توان در كل كیهان جای داد.

اما حال كه ریاضی دانان توانسته‌اند یك طبقه خاص از آلگوریتمهای توانی را برای شناسایی اعداد اول مشخص كنند، این امكان پدید آمده كه به دنبال نمونه‌های بهتر این روش بگردند. پومرانس و هندریك لنسترا از دانشگاه كالیفرنیا در بركلی با تلاش در همین زمینه توانسته‌اند زمان لازم برای محاسبات را از توان ‪ ۷.۵‬به توان ‪ ۶‬كاهش دهند.

این دو از همان استراتژی كلی گروه هندی موسسه كانپور استفاده كردند اما تاكتیهای دیگری را به كار گرفتند.

اگر فرضیه‌های دیگری كه درباره اعداد اول مطرح شده درست از كار درآید آنگاه می‌توان زمان محاسبه را از توان ‪ ۶‬به توان ‪ ۳‬تقلیل داد كه در این حد این روش كارآیی عملی پیدا خواهد كرد.

در این حالت یافتن اعداد اول با ‪ ۱۰۰۰‬رقم یا بیشتر به بازی كودكان بدل خواهد شد.

اما در نظر ریاضی‌دانان مهمترین و جالبترین جنبه كار گروه سه نفره آ ك اس (كانپ.ر) روشی است كه آنان به كار گرفته‌اند.

اعداد اول برای ریاضیات از اهمیت بنیادین برخوردارند و هر نوع غفلت در فهم ویژگیهای آنها باعث می‌شود خللهای بزرگ در بنای ریاضیات پدیدار شود.

روش این سه ریاضی دان هندی هرچند این خللها و نقصها را پر نكرده حداقل به ریاضی دانان گفته است كه در كجا به دنبال این خللها بگردند.

آلگوریتم پیشنهادی این سه محقق و همه انواع بدیلی كه بر اساس آن ساخته شده متكی به وجود اعداد اولی با مشخصه های ویژه هستند. و در اغلب موارد استفاده از این روش مستلزم آن است كه ریاضی دانان اطلاعات دقیقی از نحوه توزیع این قبیل اعداد اول خاص در میان دیگر اعداد به دست آورند و به این ترتیب جغرافیای مكانی اعداد اول را مشخص سازند.

روش پیشنهادی آ ك اس به ریاضی دانان این نكته را آموخته كه ویژگیهای این جغرافیای مكانی حائز اهمیت است و نیز این كه هنوز دانش كافی در این زمینه به دست نیامده است.

در گذشته و در زمانی كه نظریه اعداد تنها مورد توجه یك گروه كوچك از ریاضی دانان بود ، این مساله چندان اهمیتی نداشت. اما در ‪ ۲۰‬سال گذشته اعداد اول موقعیتی استثنایی در عرصه رمز نگاری و دانش طراحی و شكستن رمزها كسب كرده اند.

رمزها صرفا از نظر نظامی و جاسوسی حائز اهمیت نیستند بلكه از آنها در عرصه های تجاری و نیز فعالییتهای اینترنتی در مقیاس وسیع استفاده به عمل می‌آید. هیچ كس نمی‌خواهد كه راهزنان اینترنتی به اطلاعات شخصی مربوط به حسابهای بانكی یا شماره كارتهای اعتباری آنان دست یابد.

هم اكنون دزدی مشخصات شناسنامه ای افراد و جعل هویت آنان به صورت یكی از بزرگترین قلمروهای فعالییتهای تبهكارانه در سطح بین‌المللی در آمده است.

سازندگان كامپیوترها و ارائه‌دهندگان خدمات اینترنتی با توجه به آنكه در حال حاضر افراد بسیاری از فعالیتهای خود را از طریق اینترنت انجام می دهند، نظیر اینكه پول قبضهای برق و آب و تلفن خود را می‌پردازند یا در كلاسهای مورد نظر ثبت نام می‌كنند، یا بلیت هواپیما و قطار رزرو می‌كنند، در تلاشند تا از خطر دستیابی تبهكاران به اطلاعات شخصی افراد جلوگیری به عمل اورند.

یكی از مهمترین سیستمهایی كه در این زمینه مورد استفاده صنایع است سیستم آر اس آ نام دارد كه متكی به اعداد اول است.

اعداد اول مورد استفاده در این سیستم در حدود ‪ ۱۰۰‬رقمی هستند. سیستم آر اس آ در بسیاری از سیستمهای كامپیوتری مورد استفاده قرار دارد و در پروتكل اصلی برای ارتباطات امن اینرتنتی نیز گنجانده شده است و بسیاری از دولتها، شركتهای بزرگ و دانشگاهها از آن استفاده می‌كنند. جواز استفاده از این سیستم برای بیش از ‪ ۷۰۰‬شركت صادر شده و بیش از نیم میلیون كپی از آن در سطح جهانی مورد استفاده قرار دارد.

برای شكستن رمز آر اس آ باید مضراب اعداد ‪ ۲۰۰‬رقمی یا بزرگتر را پیدا كنید. هرچند فاكتور گیری یا عامل مشترك گیری از اعداد سخت تر از آزمودن اول بودن آنهاست اما این دو مساله با یكدیگر ارتباط دارند و ریاضی دانان از یك ابزار برای حل هر دو مساله استفاده می‌كنند.

همه این جنبه‌ها بر اهمیت كشف هر روشی برای محاسبه اعداد اول می‌افزاید.

در سال ‪ ۱۹۹۵‬زمانی كه پیتر شور از آزمایشگاههای بل اثبات كرد كه مجموعه- ای از آلگوریتمهای توانی برای فاكتور گیری وجود دارد، لرزه بر اندام بسیاری افتاد.

اما خوشبختانه برای استفاده از این آلگوریتم به كامپیوترهای كوانتومی نیاز است كه هنوز در مرحله تكمیل تئوریك قرار دارند.

اكنون روش تازه آگراوال و دوستانش دوباره سیستم آر اس آ را در معرض خطر قرار داده است. آگراوال اكنون این نكته را نشان داده كه می‌توان با كامپیوتر های معمولی، اعداد را از حیث اول بودن مورد آزمایش قرار داد.

سوالی كه اینك مطرح شده آن است كه آیا الگوریتم مشابهی كه به صورت توانی كار كند برای فاكتورگیری اعداد غیراول نیز موجود است؟ پاسخ اغلب متخصصان به این پرسش منفی است اما متاسفانه این متخصصان همین حرف را در مورد آلگوریتم توانی مربوط به اعداد اول نیز می‌زدند
در حال حاضر ریاضی دانان واقعا مطمئن نیستند كه كه آیا چنین آلگوریتمی یافت می‌شود یا نه.

اگر پاسخ مثبت باشد انگاه سیستم آر اس آ دیگر از امنیت برخوردار نیست.

یك عامل تخفیف‌دهنده نگرانیها آن است كه از سیستم آر اس آ برای انتقال همه محتوای پیامها استفاده نمی‌شود بلكه صرفا "كلید های رمز" را كه اندازه شان كوچك است با این سیستم انتقال می‌دهند.

برای انتقال بقیه پیام از روشهای رمزنگاری متعارف بهره گرفته می‌شود. به این ترتیب جاسوسان در صدد برخواهند آمد كه به كلید رمزها دست یابند.

به این ترتیب درسی كه از موفقیت گروه سه نفره هندی گرفته می‌شود آن است كه باید با احتیاط در ارسال پیامها عمل كرد. اگر اكتشافات مشابه آنچه گروه كانپور بدست اورده تكرار شود، انگاه دیگر نمی‌توان به ایمن بودن ارتباطاتی كه روی اینترنت برقرار می‌شود اطمینان داشت.

خبرگزاری جمهوری اسلامی ‪