دانلود کتاب ریاضیات مهندسی Erwin Kreyszig
دانلود حل المسائل ریاضیات مهندسی
توجه : براي دانلود فايل مورد نظر بعد از كليك كردن روي لينك دانلود شما وارد سايت خواهيد شد.ابتدا گزينه Repuest Download Link را در ابتداي صفحه زده و سپس گزينه Download File را در رديف دوم انتخاب كنيد.
http://depositfiles.com/files/5337885
http://rapidshare.com/files/114566911/Epidemiology_and_Medical_Statistics.rar
نخستین کسی که قواعد ذهن آدمی را به دست آورد و با ترتیبی خاص و منظم، مدون ساخت و بسیاری از قوانین آن را خصوصا در مبحث قیاس، با دقت اعجاب انگیز و ابتکار خویش استخراج کرد، ارسطو است.
باید به یک نکته مهم توجه داشت و آن این که درست نیست ارسطو را موسس و سازنده یا خالق منطق بخوانیم؛ زیرا منطق، قواعد ذهن انسانی است که همه انسان ها بر اساس این قواعد، فکر و استدلال می کنند و زندگی خود را بر پایه آن ها بنا نهاده اند.
به عبارت دیگر، منطق همانند قواعد و قوانین طبیعی است که در تمامی اشیا و جانداران، برقرار است و دانشمندان، می کوشند تا این قوانین را به دست آوردند. ا
ارسطو تنها کاری که کرد، این بود که این قواعد را با جهد و کوشش فکری بسیار، استخراج کرد و آن ها را منظم و مدون ساخت.
شاهد این امر، این که خود وی این دانش را تحلیل نامید؛ یعنی چیزی وجود داشته و سپس او به تجزیه و تحلیل آن پرداخته است.
عنوان منطق را اولین بار، شارحان آثار ارسطو به این فن اطلاق کردند و بعد از اسکندر افرودیسی، استعمال لفظ منطق برای این علم، عمومیت یافت.
متفکران مسلمان، برای منطق، ارزش و اعتبار بالایی قائل بودند و گاهی آن را منطق و گاهی میزان می نامیدند.
چنانکه در نظر فارابی، این علم در راس تمام علوم جای دارد؛ زیرا احکام و قوانین منطقی در تمام علوم و رشته ها جاری و برقرار است.
و در نظر غزالی، منطق، معیار است برای هر علمی و نزد برخی دیگر از فلاسفه، منطق، هنر اندیشیدن است.
برای اطلاعات بیشتر بنگرید به:
لگاریتم و کاربردهای آن در زندگی- بخش اول
نظریه ها و قاعده های ریاضی، با کشف خود «هستی» پیدا می کنند، آن ها تنها وجود دارند و اغلب بدون کاربردند. دیر یا زود، و گاهی بعد از صدها و هزارها سال، این موجودات ریاضی به «صفت» تبدیل می شوند و کاربرد خود را در زندگی و عمل، در سایر دانش ها، در صنعت و هنر پیدا می کنند. شاید ۳۸۰ سال پیش کسی فکر نمی کرد لگاریتمی که در رابطه با نیاز محاسبات عملی کشف شد در آینده کاربردهای وسیعی پیدا کند.
شاید هیچوقت کپلر فکر نمی کرد که جدول هایی را که برای ساده کردن محاسبات طولانی در تعیین مدار مریخ و یا کارهای اخترشناسی دیگرش تنظیم کرد، جرقه ای این چنین را در ریاضیات ایجاد کند.
یا شاید لاپلاسی که گفت: “لگاریتم طول زندگی اخترشناسان را چند برابر کرد” نمی دانست که نه تنها طول زندگی اخترشناسان بلکه دریانوردان، بازرگانان، موسیقیدانان، شیمیدانان، ریاضیدانان، زمین شناسان و حتی همه ی انسان های کره ی زمین را چند برابر کرد.
بدیهی است که تا نیاز به چیزی احساس نشود آن چیز کشف و اختراع نمی گردد، در واقع هرکدام از علومی که با آن روبه رو هستیم هریک به مقتضای نیازی و با توجه به هدف خاصی پیکر بندی شده اند.
لگاریتم نیز با توجه به محاسبه های طولانی و ملال آوری که دانشمندان سده های شانزدهم و هفدهم میلادی با آن سر و کار داشتند، بوجود آمد. این محاسبه ها وقت و نیروی زیادی را از دانشمندان تلف می کرد و همیشه دانشمندان در ذهن داشتند که چطور می شود بدون انجام چنین محاسبات پیچیده و دشواری و آن هم در کمترین زمان ممکن به جواب مطلوب دست یابند. گفته می شود که حتی در قرن هشتم هندی ها با محاسبات مربوط به لگاریتم آشنایی داشتند اما این کلمه و مفهوم مربوط می شود به قرن شانزدهم .جدول هایی نیز در این زمینه بوجود آمد و شاید همین تلاش ها و نیازها بود که سر انجام به کشف لگاریتم انجامید تا آن جا که دو دانشمند به طور همزمان و بدون اینکه از کار یکدیگر آگاه باشند موفق به کسب چنین افتخاری گشتند اولی جان نپر و دیگری بورگی.
اما اصطلاح لگاریتم نشات گرفته از فعالیت های نپر است که از واژه ی یونانی «لوگوس» به معنی نسبت و «ارتیوس» به معنی عدد گرفته شده است. او همچنین بجای لگاریتم از اصطلاح عدد ساختگی نیز استفاده می کرد. نپر چکیده ی کارهای خود را در کتابی با عنوان «شرح جدول های عجیب لگاریتمی» چاپ کرد و به دنیا نمایاند.
عدد e (مبنای لگاریتم طبیعی) نیز در چنین سال هایی چشم به جهان و جهانیان گشود. گفته می شود کاشف عددe آن گونه که برخی می پندارنداویلر نبوده است بلکه خود نپر بحث مربوط به لگاریتم طبیعی و عدد e را در یکی از نوشته هایش پیش کشیده است.
بعد از آشکار شدن لگاریتم به جهانیان ابزارهایی برای آسانتر کردن محاسبات لگاریتمی کشف شد که از آن جمله می توان به خط کش لگاریتمی ساخته ی گونتر انگلیسی اشاره نمود. امروزه نیز با استفاده از ماشین حساب و با فشردن یک کلید میتوان عمل لگاریتم گرفتن را به آسانی و سرعت انجام داد.
با ورود لگاریتم به دنیای ریاضیات و آشنا شدن مردم و دانشمندان با آن، این شاخه کاربردهای زیادی را در زندگی روزمره پیدا کرد. چنانکه امروزه لگاریتم در حسابداری و در تعیین بهره ی مرکب و نیز مسائل مالی کاربرد فراوانی یافته است. همان زمان که لگاریتم اختراع شده بود اویلر رابطه ی بین عدد e و بهره ی مرکب را دریافت و فهمید که حد بهره به سمت عددی متناسب (یا مساوی در شرایط خاص) ، که همان عدد e است میل می کند. همچنین از لگاریتم در مدلسازی و بازار یابی سهمی استفاده می شود. مدلسازی ایجاد الگو و تمثیلی برای تجسم واقعیت های خارجی است که در مسائل مربوط به ریاضیات و حسابداری کاربرد دارد
درادامه ی مبحث کاربردهای لگاریتم شاید جالب باشد که بدانیم لگاریتم درهنرنیزکاربرد پیدا می کند. میدانیم درموسیقی برای بیان فشارصوت از دسیبل(Decibel ) استفاده می شود. اصطلاح دسیبل که در بسیاری از مباحث فیزیک موسیقی و نیز به هنگام استفاده از اعمال ضبط و افکت در استودیوهای موسیقی کاربرد دارد در واقع از یک محاسبه ی لگاریتمی فوق العاده آسان قابل محاسبه است.
اصطلاح دسیبل برای مقایسه ی نسبت بین دو مقدار در علوم فیزیک، الکترونیک و بسیاری از رشته های مهندسی استفاده می شود. گفتیم دسیبل در فیزیک صوت کاربرد زیادی دارد، یکی از دلایل استفاده از لگاریتم در این شاخه این است که از آن جایی که هر دو مقداری که قرار است با هم مقایسه شوند دارای ابعاد فیزیکی یا دیمانسیون(Dimention) یکسان هسنتد خارج قسمت آن ها عدد خالص و بدون واحد است، لذا می توان از خارج قسمت آن ها لگاریتم گرفت تا بتوان ساده تر مقادیر بسیار کوچک یا بسیار بزرگ را با هم مقایسه کرد، بدون این که از رقم ها و عددهای بزرگ و کوچک استفاده شود.
بعبارتی دیگر می توان گفت دسیبل واحدی است برای تغییر حجم صدا. البته قبلا برای این کار از واحد بل(مخترع تلفن) استفاده می شد.
کاربردهای لگاریتم در موسیقی در این جا پایان نمی یابد. مثلا لگاریتم در بیان سطح فشار صوت (Sound pressure level) کاربرد می یابد که در آن از معیاری به نام SPL یا سطح فشار صوت استفاده می شود.
همچنین، ساوار موسیقیدان و فیزیکدان فرانسوی که واحد سنجش فواصل موسیقی به نام اوست با استفاده از یکی از خاصیت های لگاریتم(لگاریتم حاصلضرب برابرست با حاصل جمع لگاریتم ها) توانست فواصل موسیقی را با هم جمع یا تفریق کند. بعدها برای اینکه جمع و تفریق آن ها از حالت اعشاری خارج شود واحد «سناوار» را مرسوم کردند.
از مهمترین کاربردهای لگاریتم میتوان به کاربرد آن در علم زلزله شناسی اشاره نمود. مشکلات زیادی در اندازه گیری بیشینه ی دامنه وجود داشت که به توصیه ی گوتنبرگ دانشمند برجسته ی زمین لرزه شناسی اندازه گیری آن بصورت لگاریتم اعشاری انجام شد، امروزه در رابطه ی مقیاس بندی ریشتر و محاسبه ی بزرگی زلزله به لگاریتم بر می خوریم. سال ها بعد چارلز ریشتر زلزله شناس آمریکایی یک مقیاس لگاریتمی را برای سنجش زلزله تعیین کرد که هنوز هم مورد استفاده است و به نام خودش(ریشتر) معروف است. زلزله شناسان نیز انرژی آزاد شده بوسیله ی زلزله، دامنه و فاصله ی زلزله (کانون زلزله) را با محاسبات لگاریتمی اندازه گیری می کنند. البته بزرگی زلزله یک درجه ی قرار داری است اما می توان از طریق آن و بطور نسبی زمین لرزه ها را با یکدیگر مقایسه نمود.
اما باید گفت پرکاربرد ترین علمی که از لگاریتم در آن استفاده می شود شیمی تجزیه است. در شیمی تجزیه بارها و بارها با لگاریتم و عمل لگاریتم گیری مواجه می شویم از آن جمله می توان به استفاده از لگاریتم در اندازه گیری PH ، توابعP ،معادله ی دبای-هوکل که با استفاده از آن می توان ضرایب فعالیت یون ها را از طریق بار و میانگین اندازه ی آن ها محاسبه کرد اشاره نمود.
کاربردهای لگاریتم تنها به موارد اشاره شده در این مقاله ختم نمی شود چنانچه لگاریتم در علوم زیستی، نجوم و در اخترشناسی جهت اندازه گیری فاصله بین ستارگان و سیاره ها، آمار، علوم کامپیوتر، زمین شناسی و… نیز کاربرد می یابد ، چه بسا کاربردهای دیگری را که در آینده از لگاریتم شاهد خواهیم بود.
منابع:
۱) ریاضی پایه علوم انسانی پیش دانشگاهی
۲) سرگذشت ریاضیات، پرویز شهریاری، تهران: نشر مهاجر، ۱۳۷۹/
۳) مسائل اساسی ریاضی، مندلسون ترجمه عادل ارشقی انتشارات تهران
۴) خواندنیهای ریاضی، پرویز عظیمی، زاهدان:دانشگاه سیستان و بلوچستان، معاونت پژوهشی، ۱۳۷۹/
۴) ریاضی پایه علوم انسانی پیش دانشگاهی
۵) مبانی شیمی تجزیه، اسکوگ، وست، هالر/ ترجمه ی ویدا توسلی، هوشنگ خلیلی و علی معصومی، جلد اول، انتشارات جهاد دانشگاهی
۶) مدلسازی و بازاریابی، سهمی(مقاله)، گردآوری سهراب خندان.
8 ) http://www.iiees.ac.ir/seismology
زندگی، Game of Life، بازی ای است که روی یک صفحه چهارخانه نامتناهی انجام می شود. در هر زمان ( یا مرحله یا نسل ) بعضی از خانه ها یا سلول ها زنده و بعضی دیگر مرده هستند. اینکه در هنگام شروع بازی چه سلول هایی زنده باشند با شماست. اما بعد از آن شما کاری نخواهید داشت جز تماشای اتفاقات جالبی که می افتد. چرا که وضعیت هر سلول در هر زمان بوسیله قانون های زیر، از روی وضعیت آن در مرحله قبل تعیین می شود و زندگی ادامه پیدا می کند.
یک سلول زنده در نسل (مرحله) بعد به زندگی ادامه می دهد اگر دو یا سه همسایه زنده داشته باشد
سلول زنده ای که چهار تا یا بیشتر همسایه زنده داشته باشد بر اثر ازدیاد جمعیت خواهد مرد. همین طور سلول زنده ای که یکی یا کمتر همسایه زنده داشته باشد از تنهایی خواهد مرد.
در یک خانه خالی که دقیقا سه همسایه داشته باشد در نسل بعد یک سلول زنده متولد خواهد شد.
در زیر می توانید داستان زندگی یک موجود ساده را که از پنج سلول کنار هم ساخته شده است ببینید. در اینجا مثلا در مرحله دوم چهار سلولی که در گوشه های مربع هستند هر کدام سه همسایه دارند پس در نسل سوم زنده خواهند ماند. پنج سلول دیگر طبق قانون ازدیاد جمعیت خواهند مرد و ضمنا سه سلول جدید هم در نسل سوم طبق قانون تولد به دنیا می آیند:
همان طور که می بینید این موجود بالاخره به یک موجود متناوب تبدیل می شود یعنی حالت های هفتم وهشتم به تناوب تا ابد تکرار می شوند. حالا که قوانین بازی را یاد گرفتید می توانید با زدن دکمه زیر نسخه ای از Applet بازی را اجرا کنید و موجودات مختلفی بسازید.
در این Applet باکلیک کردن می توانید سلول ها را روشن و خاموش کنید. با زدن دکمه Go بازی شروع می شود. با تنظیم لیست کنار دکمه می توانید با هر بار زدن دکمه Go فقط یک نسل جلو بروید و یا اینکه تغییرات را به طور پیوسته ببینید. بوسیله دکمه Clear می توانید صفحه را پاک کنید و با دکمه Speed می توانید سرعت نمایش نسلها را معین کنید. ضمنا با زدن دکمه Open لیستی از موجوداتی که دیگران طراحی کرده اند پدیدار می شود و می توانید آنها را ببینید.
در مثال قبل یک موجود متناوب را دیدید، فکر می کنید موجودات پایدار هم وجود داشته باشند؟ یعنی موجوداتی که در طول همه نسلها تغییر شکل ندهند. جواب مثبت است در زیر می توانید تعدادی از این موجودات را ببینید:
این بازی را اولین بار John Conway ریاضیدان انگلیسی ابداع کرد. یکی از اولین موجوداتی که توجه او و دوستانش را جلب کرد، موجود کوچکی بود که راه می رفت. اسم این موجود را گلایدر گذاشتند.
بعدها علاقه مندان به این بازی سعی کردند موجودات متحرک بزرگتری را پیدا کنند. در Applet بالا می توانید نمونه های عالی ای را ببینید. شما هم می توانید سعی کنید و موجوداتی را که پیدا می کنید برای ما بفرستید.
بالاخره بعد از مدتی تب پیدا کردن موجودات عجیب و غریب آنقدر بالا گرفت که در اواسط دهه هشتاد که وقت محاسباتی کامپیوترها بسیار ارزشمند بود خیلی از دانشگاه های امریکا مجبور شدند قوانینی برای جلوگیری از استفاده دانشجویان از وقت کامپیوتر ها برای جستجوی موجودات پیچیده وضع کنند. اما تلاش ها همچنان ادامه پیدا کرد و همه جور موجودی، از انواع تولید کننده های گلایدر (Gun30.lif) گرفته تا موجودات فضاپرکن (Max.lif) موجودات متحرک خیلی بزرگ (َAqua40.lif) موجودات کوچکی که موجودات عجیبی تولید می کنند (Rpento.lif و Pi.lif) موجوداتی با قیافه های بامزه (Zip.lif و Twindots.lif و Tubtrax.lif) و کلی چیزهای بامزه دیگر پیدا شد و برای همه روشن شد که
زندگی خیلی بیش از آنچه از ابتدا فکر می کردند پیچیده و غیر قابل پیش بینی است.
شما هم اگر دوست داشته باشید می توانید به جمع جهانی این جستجو گران بپیوندید. پیشنهاد می کنم از آزمایش روی الگوهای ساده، مثلا یک ردیف افقی از سلول ها با تعداد مختلف شروع کنید.
بيش از دو هزار سال پيش ارشميدس (287-212 قبل از ميلاد) فرمول هايي را براي محاسبه سطح وجه ها ، ناحيه ها و حجم هاي جامد مثل كره ، مخروط و سهمي يافت . روش انتگرال گيري ارشميدس استثنايي و فوق العاده بود جبر ، نقش هاي بنيادي ، كليات و حتي واحد اعشار را هم نمي دانست .
ليبنيز (1716-1646) و نيوتن (1727-1642) حسابان را كشف كردند . عقيده كليدي آنها اين بود كه مشتق گيري و انتگرال گيري اثر يكديگر را خنثي مي كنند با استفاده از اين ارتباط ها آنها توانستند تعدادي از مسائل مهم در رياضي ، فيزيك و نجوم را حل كنند.
فورير (1830-1768) در مورد رسانش گرما بوسيله سلسله زمان هاي مثلثاتي را مي خواند تا نقش هاي بنيادي را نشان دهد .رشته هاي فورير و جابجايي انتگرال امروزه در زمينه هاي مختلفي چون داروسازي و موزيك اجرا مي شود .
گائوس (1855-1777) اولين جدول انتگرال را نوشت و همراه ديگران سعي در عملي كردن انتگرال در رياضي و علوم فيزيك كرد . كايوچي (1857-1789) انتگرال را در يك دامنه همبستگي تعريف كرد . ريمان (1866-1826) و ليبيزگو (1941-1875) انتگرال معين را بر اساس يافته هاي مستدل و منطقي استوار كردند .
ليوويل (1882-1809) يك اسكلت محكم براي انتگرال گيري بوجود آورد بوسيله فهميدن اينكه چه زماني انتگرال نامعين از نقش هاي اساسي دوباره در مرحله جديد خود نقش اساسي مرحله بعد هستند . هرميت (1901-1822) يك شيوه علمي براي انتگرال گيري به صورت عقلي و فكري ( يك روش علمي براي انتگرال گيري سريع ) در دهه 1940 بعد از ميلاد استراسكي اين روش را همراه لگاريتم توسعه بخشيد .
در دهه بيستم ميلادي قبل از بوجود آمدن كامپيوترها رياضيدانان تئوري انتگرال گيري و عملي كردن آن روي جداول انتگرال را توسعه داده بودند و پيشرفت هايي حاصل شده بود .در ميان اين رياضيدانان كساني چون واتسون ، تيچمارش ، بارنر ، ملين ، ميچر ، گرانبر ، هوفريتر ، اردلي ، لوئين ، ليوك ، مگنوس ، آپل بلت ، ابرتينگر ، گرادشتاين ، اكستون ، سريواستاوا ، پرودنيكف ، برايچيكف و ماريچيف حضور داشتند .
در سال 1969 رايسيچ پيشرفت بزرگي در زمينه روش علمي گرفتن انتگرال نامعين حاصل كرد . او كارش را بر پايه تئوري عمومي و تجربي انتگرال گيري با قوانين بنيادي منتشر كرد روش او عملاً در همه گروه هاي قضيه بنيادي كارگر نيست تا زماني كه در وجود آن يك معادله سخت مشتق گيري هست كه نياز دارد تا حل شود . تمام تلاش ها ااز آن پس بر روي حل اين معادله با روش علمي براي موفقيت هاي مختلف قضيه اساسي گذاشته شد . ايت تلاش ها باعث پيشرفت كامل سير و روش علمي رايسيچ شد . در دهه 1980 پيشرفت هايي نيز براي توسعه روش او در موارد خاص از قضيه هاي مخصوص و اصلي او شد .
از قابليت تعريف انتگرال معين به نتايجي دست ميابيم كه نشان دهنده قدرتي است كه در رياضيات مي باشد (1988) جامعيت و بزرگي به ما ديدگاه موثر و قوي در مورد گسترش در رياضيات و همچنين كارهاي انجام شده در قوانين انتگرال مي دهد . گذشته از اين رياضيات توانايي دارد تا به تعداد زيادي از نتيجه هاي مجموعه هاي مشهور انتگرال پاسخ دهد ( اينكه بفهميم اين اشتباهات ناشي از غلط هاي چاپي بوده است يا نه ) . رياضيات اين را ممكن مي سازد تا هزاران مسئله انتگرال را حل نماييم به طوريكه تا كنون در هيچ يك از كتابهاي دستنويس قبلي نيامده باشد . در آينده ديگر وظيفه ضروري انتگرال اين است كه به ازمايش تقارب خطوط ، ارزش اصلي آن و مكانيسم فرض ها بپردازد .
|
بوتاون تورا کاوالیری (۱۵۶۴-۱۶۴۲) اهل میلان، از همان سال های نخستین به ریاضیات علاقه مند بود،و به ظاهر زیر تاثیر گالیله، روش « غیر قابل تقسیم ها» را در هندسه بوجود آورد که در اثر بزرگ او در سال ۱۶۳۵، با عنوان «هندسه، با طرح تازه ای بر اساس غیر قابل تقسیم های پیوسته»، به شهرت رسید. غیر قابل تقسیم ها، از نظر کاوالیری، وترهای موازی در درون شکل روی صفحه، و صفحه های موازی در درون جسم بود. او برای مقایسه ی شکل های روی صفحه و جسم های فضایی، مفهوم « مجموع همه ی غیر قابل تقسیم ها» را آورد که تماس سطح و فضای جسم را پر می کردند. برای کاوالیری، نسبت این مجموع ها، همان نسبت مساحت ها و حجم ها بود. او شکل های روی صفحه را، بین دو خط راست موازی در نظر گرفت. اصل کاوالیری درباره مساحت اگر فرض کنیم قاعده های دو شکل بر روی یک خط قرار گرفته باشند. اگر هر خطی موازی قاعده های دو شکل در آنها قطعه هایی با طول های مساوی ایجاد کند، مساحت های آن دو شکل برابر است. با توجه به شکل دو شکل بر روی افق قرار گرفته اند. اگرهر خطی به موازات قاعده مانند d رسم کنیم و داشته باشیم: AB=CD، MN=PE ، آنگاه دو شکل هم مساحت هستند. اصل کاوالیری در باره حجم ها دو شکل فضایی و صفحه ای که قاعده های دو شکل در آن قرار گرفته باشد را نظر بگیرید. اگر هر صفحه ای موازی با این صفحه که یکی از این دو شکل را قطع می کند، دیگری را نیز قطع می کند و سطح مقطع های حاصل دارای مساحت های برابر باشند، آنگاه این دو شکل فضایی حجم یکسان دارند. خود کاوالیری در این زمینه می نویسد: «دو جسمی که قاعده ی آنهای بر یک صفحه و ارتفاعشان برابر باشد، به شرطی هم ارزند یعنی حجم های برابر دارند که مقطع های آنهابا صفحه های موازی با قاعده باشد.» این نظام کار، به نام «نظام کاوالیری» معروف است. کاوالیری بر پایه ی این نظام، قضیه های زیادی را اثبات می کند. برای نمونه، ثابت کرد نسبت مساحت های دو مثلث متشابه برابر است با نسبت مجذور ضلع های متناظر آن ها. ابهامی که در مفهوم «مجموع غیر قابل تقسیم ها» وجود دارد، موجب اعتراض و انتقاد سخت بعضی از هم عصران کاوالیری شد. به همین خاطر کاوالیری کتاب دیگری با نام «شش طرح هندسی» را نوشت که در آن، تلاش کرد مفهوم هایی را که بکار می برد، دقیق تر کند، با وجود این، خود کاوالیری تا پایان زندگی نسبت به کافی بودن استدلالهای خود در تردید باقی بود، گرچه به درستی آن ها اعتقاد داشت. طرح کاوالیری در هندسه و آموزش او درباره ی غیر قابل تقسیم ها، تنها برای درک بهتر هندسه ی مقدماتی سودمند نبود. این آموزش، یعنی جمع کردن غیر قابل تقسیم ها، پیش در آمدی برای انتگرال گیری بود. کاوالیری نماد انتگرال را بکار نمی برد، ولی در واقع از انتگرال گیری استفاده می کرد… به جز این، در هندسه ی کاولیری به قضیه هایی بر می خوریم که برای پیدایش محاسبه ی دیفرانسیلی، ارزش معینی دارند. از آن جمله، نخستین گزاره ای که در هندسه آمده، هم ارز با قضیه رول است، و به دنبال آن گزاره ای آمده است که مضمون آن اینست: در نقطه های ماکزیمم و می نیمم تابع، مماس بر نمودار با محور طول ها موازی است. یکی از کمبود های جدی هندسه ی کاوالیری این است که مولف از بکارگیری جبر فراری است و همه جا به هندسه دانان قدیمی تکیه می کند. بی تردید، بکار گیری نمادهای جبری که در زمان کاوالیری رایج شده بود، می توانست کارهای او را دقیق تر، کامل تر و قابل درک تر کند. گردآورنده: الهه دانائي راد منبع: اينترنت |
|
| ||||||
| ||||||
|
به نام رسم كننده ي نمودار زندگي زندگي در درون خود نكته هايي دارد كه براي عمل به اين نكته ها بايد فرمول هايي راياد داشت كه براي پيدا كردن فرمول مناسب بايد توجهات را مد نظر قرار داد كه در كنار اين توجهات يادآوري هانيز به ما چشمك مي زنند كه اين چشمك ها موجب ديدن نتايج عمل كردن به اين نكته ها مي شود كه اين نتايج خود همراه با تبصره هايي هستند كه اين تبصره ها... اگر بخواهي روزي از مشكلاتت جذ ر بگيري و آنها را بر 10 به توان nتقسيم كني ياد من باش كه من هميشه سعي كردم كه خوشي هايم را به توان n برسانم تا بتوانم از مشكلاتم كه در برابر آن مانند اپسيلوني است چشم پوشي كنم و گاهي آرزو هايم را يكي يكي با هم جمع كردم و يكي يكي از آنها مشتق گرفتم ومساوي صفر قرار دادم تا بتوانم از درون آن جوابي براي خود پيدا كنم و x و y را بيابم كه راه رسيدن به آرزوهايم باشد و اميدوارم هيچ گاه y ام مساوي صفر نباشد كه هنگامي كه آن را در معادله بگذارم ببينم كه x ام هم صفر مي شود و هيچ راهي براي رسيدن به آرزوهايم ندارم. هدف هايم را در هم ضرب كردم ومنهاي هوس هاي جواني ام كردم تا به جوابي برسم كه نه از مجانبي عبا داشته باشم كه نكند به آن برخورد كنم و نه به دنبال نقطه ي عطف خود باشم و يك راست به سمت جدول مختصات بروم و خودم را رسم كنم خودم را به صورت منحني اي مانند منحني sin رسم كنم كه قابليت انعطاف و انتقاد داشته باشم كه با يك انتقاد يكدفعه خودم را در 0› ∆ نبينم كه راه به سويي نداشته باشم و معادله ام بي جواب بماند پس سعي خودم را مي كنم كه هميشه نقطه ي ماكزيمم منحني باشم. |
مثلث كوچكتر از دايره
دو فيزيكدان امريكايي توانسته اند با تغييراتي در طراحي شيرها ، ابعاد قطره هاي خروجي از شير را كنترل كنند.
اشتباه نكنيد ، اين يافته ها ، كاربردهايي در نشتي شيرآلات و يا چكه كردن شير ندارد ، بلكه مهمترين كاربردهاي آن در صنعت چاپ ، زيست فناوري و ميكروالكترونيك است.
قطرات ريز ، پايه اصلي فناوري هايي هستند كه در زندگي روزمره به شكل چاپگرهاي جوهر افشان، خود را نشان مي دهند ؛ اما كاغذ و جوهر در استفاده از اين فناوري تنها نيستند.
در لحيم كاري مدارهاي بسيار ريز و تهيه شبكه هاي ويژه اي از DNA براي تحليل ژنتيكي نيز از اين قطرات ريز استفاده وسيعي مي شود.
حتما براي آبياري باغچه ، تميز كردن حياط و يا شستشوي خودرو از شيلنگ آب استفاده كرده ايد و براي بالا بردن اثر جريان آب ، انگشت خود را سر شيلنگ قرار داده ايد.
در اين حالت ، سرعت قطرات آب بيشتر مي شود ، ولي با اندكي دقت ، متوجه مي شويد ابعاد قطرات آب بشدت كاهش مي يابد. براي توليد قطرات كوچكتر به شيپورهاي كوچكتري نياز است ، ولي اگر قرار باشد تعداد قطرات به همان مقدار سابق باشد ، فشار بيشتري بايد پشت آب قرار گيرد.
بدين ترتيب ، اين فشار مي تواند به قدري افزايش يابد كه منجر به ترك خوردن يا شكسته شدن شيپوره شود.
فيزيكدانان دانشگاه هاروارد توانستند با تغيير شكل سطح مقطع شيپوره از دايره به مثلث، قطرات كوچكتري را به ازاي فشار يكسان توليد كنند.
آنان در محاسبات خود متوجه شدند شيپوره اي كه سطح مقطع دايره اي دارد ، بدترين گزينه ممكن براي توليد قطرات ريز است ؛ ولي اگر اين شيپوره بين 3نقطه محدود شود و شكلي مثلثي با سطوح مقعر به دست آيد ، قطراتي توليد مي شوند كه حجم آنها 21درصد كمتر از قطرات توليد شده در شيپوره دايره اي است.
اين محاسبات به شيپوره هاي بسيار كوچك چاپگر جوهرافشان قابل اعمال است ، ولي اگر عرض شيپوره بيش از يك ميلي متر باشد ، نيروي گرانش بر اندازه قطره تاثير خواهد گذاشت و بدين ترتيب فايده اي ندارد در دوش حمام از سوراخ هاي مثلثي شكل استفاده شود ، چون ابعاد قطره زياد كوچك نمي شود.
منبع :www.bbc.co.uk
جدول سودوکو
در سالهای گذشته این جدول کاربرد عمومی خود را برای سرگرمی پیدا کرده و خیلی ها را به خود معتاد کرده است. این روزها سودوکو سرگرمی بسیاری از مردم جهان شده است، کتاب های مجموعه این جدول ها نیز در نشریات کشورهای مختلف به چاپ می رسد و بسیاری از روزنامه های مترویی در کشور های غربی جدول سودوکو را در صفحات سرگرمی خود گنجانده اند.
● تاریخچه
سودوکو یا سادوکو مخفف عبارت ژاپنی “Suuji wa dokushin ni kagiru” به معنی عدد های بی تکرار است و نوعی جدول اعداد است که امروزه یکی از سرگرمی های رایج در کشورهای مختلف جهان بشمار می آید. سودوکو فقط یکی از نامهای این بازی است. در آمریکا این بازی به نام “number place “مشهور است. گفته می شود که این بازی ریشه در چین باستان دارد و در قرن ۱۷ میلادی به اتریش برده شد و بعد از آن به بقیه اروپا و آمریکا راه پیدا کرده، بعد از گذشت زمان های طولانی در دهه ی۸۰ میلادی در مجله های تفریحی ظاهر شد. اما در جایی دیگر نیز آمده است که نخستین جدول سودوکو را یک ریاضیدان اروپایی در قرن هجدهم طراحی کرده است .
در سالهای گذشته این جدول کاربرد عمومی خود را برای سرگرمی پیدا کرده و خیلی ها را به خود معتاد کرده است. این روزها سودوکو سرگرمی بسیاری از مردم جهان شده است، کتاب های مجموعه این جدول ها نیز در نشریات کشورهای مختلف به چاپ می رسد و بسیاری از روزنامه های مترویی در کشور های غربی جدول سودوکو را در صفحات سرگرمی خود گنجانده اند. میزان محبوبیت این بازی رو به گسترش به میزانی است که نسخه های نرم افزاری این بازی برای تلفن های همراه رواج پیدا کرده و حتی مسابقه های تلویزیونی حل سودوکو در کوتاه ترین زمان ممکن به راه افتاده است. این بازی در نمایشگاه بین المللی بازی و سرگرمی آلمان به عنوان محبوب ترین و پرطرفدارترین بازی شناخته شده است و همچنین قانون بسیار ساده و روشنی دارد .
● قوانین بازی
سودوکو انواع مختلف ساده ، متوسط ، دشوار و خیلی دشوار دارد و بسته به تعداد خانه های خالی دشوارتر می شود. بازی سودوکو را از سه جنبه می توان طبقه بندی نمود. یکی از این جنبه ها مرتبط است با ساختار فیزیکی جدول و تعداد خانه های آن که حالات متفاوتی را در بر می گیرد. مورد دیگر با اعمال قوانین مختلف در بعضی از جداول گوناگون، البته بدون تغییر در قوانین پایه ای و بنیادین این بازی در ارتباط می باشد. در نهایت جنبه سوم رتبه بندی این بازی از درجه آسان تا دشوار می باشد .
نوع متداول سودوکو در واقع نوعی جدول است که از ۹ ستون عمودی و ۹ ستون افقی تشکیل شده و کل جدول هم به ۹ بخش کوچکتر تقسیم میشود .
حالا شما باید اعداد ۱ تا ۹ را در هر یک از جدول های کوچکتر بدون تکرار بنویسید، به صورتی که در هر ستون بزرگتر افقی یا عمودی هیچ عددی تکرار نشود . در واقع هم باید از تمام اعداد ۱ تا ۹ در همه ستون های عمودی و افقی استفاده کنید و هم باید مراقب باشید هیچ عددی تکرار نشود و در همه مربع های ۳ ستونی کوچکتر نیز به همین ترتیب همه اعداد ۱ تا ۹ بیاید و تکرار نشود. همیشه به عنوان راهنمایی چند عدد در جدول از قبل مشخص میشود تا بقیه اعداد را شما پیدا کنید .
● روش حل :
ابتدا در تمام خانه های خالی جدول، اعداد را از یک تا نه می نویسیم .
سپس به سراغ یکی از اعدادی که از قبل توسط طراح نوشته شده می رویم و تمام اعداد مشابه آن را که در عرضش (بصورت افقی )قرار گرفته اند را پاک می کنیم و سپس یک خط افقی در بالای آن عدد می کشیم که مشخص باشد .
در این مرحله همانند مرحله قبل عمل می کنیم با این اختلاف که در تمام خانه های عمودی در بالا یا پایین عدد مورد نظر اعداد مشابه را پاک می کنیم وسپس با یک خط عمودی در کنار آن عدد آن را مشخص می نماییم .
اکنون باید اعداد مشابه عدد مورد نظر را در مربع نه خانه ای متناظر، پاک کنیم وعدد را با یک دایره بر دور آن مشخص کنیم .
فقط سه مرحله قبلی را در مورد تمام اعداد از قبل نوشته شده (اعداد چاپی) تکرار کنیم و کشیدن خطهای عمودی افقی و دایره را بر آن عددها نباید فراموش کنیم که این عمل می تواند به شما نشان دهد که کدام یک از قلم افتاده است .
وقتی که تمام اعداد چاپی با هر سه علامت مشخص شد کار ما تا این مرحله تمام شده است .
در این مرحله به دنبال خانه هایی می گردیم که فقط یک عدد در آنها باقی مانده و آن اعداد را پررنگ می کنیم .
ما باید در هر ستون نیز عددی را که فقط یکبار درآن ستون آمده را پیدا کنیم که این عدد یقینا جواب همان خانه است و این عدد را هم پررنگ کنیم .
اکنون در هر مربع نه خانه ای عددی را که فقط یکبار در این نه خانه آمده است را یافته و به عنوان جواب یادداشت می کنیم
مرکز ریاضیات
http://www.articles.ir/
شش عدد بر كل جهان حاكم است كه از زمان انفجار بزرگ شكل گرفته اند. اگر هر كدام از این اعداد با مقدار فعلی آن كمی فرق داشت، هیچ ستاره، سیاره یا انسانی در جهان وجود نداشت. قوانین ریاضی عامل تحكیم ساختار جهان است
این متن خلاصه مقاله پروفسور سرمارتین ریس، یكی از پیشگامان كیهان شناسی در جهان است. وی استاد تحقیقات انجمن سلطنتی در دانشگاه كمبریج و دارای عنوان اخترشناس سلطنتی است. در عین حال وی عضو انجمن سلطنتی، آكادمی ملی علوم ایالات متحده و آكادمی علوم روسیه است. وی ضمن مشاركت با چندین همكار بین المللی ایده های بسیار مهمی در مورد سیاهچاله ها، تشكیل كهكشان ها و اخترفیزیك انرژی بالا داشته است.
شش عدد بر كل جهان حاكم است كه از زمان انفجار بزرگ شكل گرفته اند. اگر هر كدام از این اعداد با مقدار فعلی آن كمی فرق داشت، هیچ ستاره، سیاره یا انسانی در جهان وجود نداشت. قوانین ریاضی عامل تحكیم ساختار جهان است.
این قاعده فقط شامل اتم ها نمی شود، بلكه كهكشان ها، ستاره ها و انسان ها را نیز در برمی گیرد. خواص اتم ها ـ از جمله اندازه و جرمشان، انواع مختلفی كه از آنها وجود دارد و نیروهایی كه آنها را به یكدیگر متصل می كند ـ عامل تعیین كننده ماهیت شیمیایی جهانی است كه در آن به سر می بریم. تعداد بسیار اتم ها به نیروها و ذرات داخل آنها بستگی دارد. اجرامی را كه اخترشناسان مورد بررسی قرار می دهند ـ سیارات، ستارگان و كهكشان ها ـ توسط نیروی گرانش كنترل می شوند و همه این موارد در جهان در حال گسترشی روی می دهد كه خواصش در لحظه انفجار بزرگ اولیه(Bigbang) در آن تثبیت شده است.
علم با تشخیص نظم و الگوهای موجود در طبیعت پیشرفت می كند، بنابراین پدیده های هر چه بیشتری را می توان در دسته ها و قوانین عام گنجاند. نظریه پردازان در تلاشند اساس قوانین فیزیكی را در مجموعه های منظمی از روابط و چند عدد خلاصه كنند. هنوز هم تا پایان كار راه زیادی باقیمانده است، اما پیشرفت های به دست آمده نیز چشمگیرند.
در آغاز قرن بیست و یكم، شش عدد معرفی شدند كه به نظر می رسد از اهمیت فوق العاده ای برخوردارند. دو تا از این اعداد به نیروهای اساسی مربوط می شوند؛ دو تای دیگر اندازه و «ساختار» نهایی جهان ما را تثبیت می كند و بیانگر آن هستند كه آیا جهان برای همیشه امتداد می یابد یا خیر؛ و دو عدد باقیمانده بیانگر خواص خود فضا هستند. این شش عدد با یكدیگر« نسخه»ای را برای جهان تشكیل می دهند.
گذشته از این جهان نسبت به مقدار این شش عدد بسیار حساس است: اگر یكی از این اعداد تنظیم نشده باشد، آن وقت نه ستاره ای در جهان وجود می داشت و نه حیاتی. سه تا از این اعداد (كه به جهان در مقیاس بزرگ وابسته است) به تازگی با دقت زیاد اندازه گیری شده است. سر برآوردن حیات انسان در سیاره زمین حدود ۵/۴ ۵.۶ میلیارد سال به درازا كشیده است. حتی پیش از آنكه خورشید ما و سیارات گرداگرد آن تشكیل شوند، ستاره های قدیمی تر، هیدروژن را به كربن، اكسیژن و دیگر اتم های جدول تناوبی تبدیل می كردند. این فرآیند حدود ده میلیارد سال به درازا كشیده است. اندازه جهان قابل مشاهده تقریباً برابر فاصله ای است كه نور بعد از انفجار بزرگ پیموده است بنابراین این جهان قابل مشاهده كنونی باید بیش از ۱۰ میلیارد سال نوری وسعت داشته باشد.(X=Ct ,t=۱*۳۶۰۰*۲۴*۳۶۵,C=۳*۱۰^۸)
بسیاری از مناقاشات پردامنه و طولانی مباحث كیهان شناختی امروزه دیگر پایان یافته، و در مورد بسیاری از مواردی كه پیش از این موضوع بحث بودند، دیگر مناظره ای صورت نمی گیرد. اینشتین در یكی از مشهورترین كلمات قصار خود می گوید: «غیرقابل درك ترین چیز در مورد جهان، قابل درك بودن آن است.» وی در این عبارت بر شگفتی خود در مورد قوانین فیزیك كه ذهن ما نسبتاً با آنها خو گرفته و تا حدودی با آنها آشناست تاكید می كند، قوانینی كه نه فقط در روی زمین بلكه در دوردست ترین كهكشان ها هم مصداق دارد. نیوتن به ما آموخت همان نیرویی كه سیب را به سمت زمین می كشد، ماه و سیارات را در مدار خود به گردش در می آورد. هم اكنون می دانیم همین نیروست كه عامل تشكیل كهكشان ها است و همین نیروست كه باعث می شود ستاره ها به سیاهچاله تبدیل شوند.
قوانین فیزیكی و هندسه ممكن است در جهان های دیگر متفاوت باشد. چیزی كه جهان ما را از سایر جهان ها متمایز می كند ممكن است همین شش عدد باشد.
۱- عدد كیهانی امگا نشان دهنده مقدار ماده ـ كهكشان ها، گازهای پراكنده و «ماده تاریك» ـ در جهان ماست. امگا اهمیت نسبی گرانش و انرژی انبساط در جهان را به ما ارائه می دهد جهانی كه امگای آن بسیار بزرگ است، بایستی مدت ها پیش از این درهم فرورفته باشد، و در جهانی كه امگای آن بسیار كوچك است، هیچ كهكشانی تشكیل نمی شود. تئوری تورم انفجار بزرگ می گوید، امگا باید یك باشد؛ هر چند اخترشناسان درصددند مقدار دقیق آن را اندازه بگیرند.
۲- اپسیلون بیانگر آن است كه هسته های اتمی با چه شدتی به یكدیگر متصل شده اند و چگونه تمامی اتم های موجود در زمین شكل گرفته اند. مقدار اپسیلون انرژی ساطع شده از خورشید را كنترل می كند و از آن حساس تر اینكه، چگونه ستارگان، هیدروژن را به تمامی اتم های جدول تناوبی تبدیل می كنند، به دلیل فرآیندهایی كه در ستارگان روی می دهد، كربن و اكسیژن عناصر مهمی محسوب می شوند ولی طلا و اورانیوم كمیاب هستند. اگر مقدار اپسیلون ۰۰۶/ یا ۰۰۸/ بود ما وجود نداشتیم. عدد كیهانی e تولید عناصری را كه باعث ایجاد حیات می شوند ـ كربن، اكسیژن، آهن و… یا سایر انواع كه باعث ایجاد جهانی عقیم می شود را كنترل می كند.
۳- اولین عدد مهم تعداد ابعاد فضا است. ما در جهانی سه بعدی زندگی می كنیم. اگر D برابر دو یا چهار بود امكان تشكیل حیات وجود نداشت. البته زمان را می توان بعد چهارم فرض كرد، اما باید در نظر داشت بعد چهارم از لحاظ ماهیت با سایر ابعاد تفاوت اساسی دارد چرا كه این بعد همانند تیری رو به جلو است، ما فقط می توانیم به سوی آینده حركت كنیم.
۴- چرا جهان پیرامون این چنین وسیع است كه در طبیعت عدد مهم و بسیار بزرگی وجود دارد. N نشان دهنده نسبت میان نیروی الكتریكی است كه اتم ها را كنار یكدیگر نگاه می دارد و نیروی گرانشی میان آنهاست. اگر این عدد فقط چند صفر كمتر می داشت، فقط جهان های مینیاتوری كوچك و با طول عمر كم می توانست به وجود آید. هیچ موجود بزرگ تر از حشره نمی توانست به وجود آید و زمان كافی برای آنكه حیات هوشمند به تكامل برسد در اختیار نبود.
۵- هسته اولیه تمام ساختارهای كیهانی ـ ستاره ها، كهكشان ها و خوشه های كهكشانی ـ در انفجار بزرگ اولیه تثبیت شده است. ساختار یا ماهیت جهان به عدد Q كه نسبت دو انرژی بنیادین است، بستگی دارد. اگر Q كمی كوچك تر از این عدد بود جهان بدون ساختار بود و اگر Q كمی بزرگ تر بود، جهان جایی بسیار عجیب و غریب به نظر می رسید، چرا كه تحت سیطره سیاهچاله ها قرار داشت.
۶- اندازه گیری عدد لاندا در بین این شش عدد، مهم ترین خبر علمی سال ۱۹۹۸ بود، اگرچه مقدار دقیق آن هنوز هم در پرده ابهام قرار دارد. یك نیروی جدید نامشخص ـ نیروی «ضدگرانش» كیهانی ـ میزان انبساط جهان را كنترل می كند. خوشبختانه عدد لاندا بسیار كوچك است. در غیر این صورت در اثر این نیرو از تشكیل ستارگان و كهكشان ها ممانعت به عمل می آمد و تكامل كیهانی حتی پیش از آنكه بتواند آغاز شود، سركوب می شد
حامد پارسا
رنگین کمان
http://www.articles.ir/
|
قضیه کوچک فرما: اگر p عددی اول و b عدد دلخواهی باشد که p و b نسبت به هم اول باشند، آن گاه باقیمانده تقسیم |
|
قضیه کوچک فرما: اگر p عددی اول و b عدد دلخواهی باشد که p و b نسبت به هم اول باشند، آن گاه باقیمانده تقسیم |
|
سال پیش از این G. H. Hardy نظریه اعداددان بزرگ در دفاعیه یک ریاضیدان نوشت: «ریاضیات واقعی ریاضیدانان واقعی، ریاضیات فرما، اویلر، گاوس و ریمان تقریبا به طور کامل بیفایده است. توجیه زندگی هیچ ریاضیدان حرفهای اصیل بر مبنای سودمندی کارش ممکن نیست».
|
یکی از اولین و در عین حال درخشانترین کارهای بشر در نظریه اعداد، اثبات اقلیدس از نامتناهی بودن اعداد اول در کتاب اصول است که امروزه می توان آن را در کتاب های درسی دبیرستانی خواند. نمونه ای عالی از زیبایی و سادگی ریاضیات. یونانی ها اعداد اول را می شناختند و از نقش آن ها به عنوان بلوک های سازنده دیگر اعداد آگاه بودند. بعد از این دستاوردهای بزرگ طبیعی ترین سوالی که به ذهن بشر رسید این بود که چه نظمی بر دنباله اعداد اول حاکم است، چگونه می توان اعداد اول را یافت و چطور می توان اعدادی را که اول نیستند به عوامل اول شان تجزیه کرد. شاید اولین پاسخ به این سوال غربال اراتستن بوده باشد. تا امروز تلاش های زیادی برای یافتن یک فرمول تولید کننده اعداد اول و یا الگویی برای ظهور اعداد اول در میان دیگر اعداد انجام شده است که هر چند کمک های زیادی به گسترش نظریه اعداد کرده اند اما ساختار پیچیده اعداد اول همچنان در مقابل این تلاش ها مقاومت می کند.
یک نمونه ساده: ۳۱-۳۳۱-۳۳۳۱-۳۳۳۳۱-۳۳۳۳۳۱-۳۳۳۳۳۳۱-۳۳۳۳۳۳۳۱ همه اولند اما ۳۳۳۳۳۳۳۳۱ حاصلضرب دو عدد اول ۱۷ و ۱۹۶۰۷۸۴۳ است.
اعداد اول مرسن: اگر p اول باشد اعدادی به شکل ۲p-۱ را عدد مرسن میگوییم. اگر این اعداد اول باشند به آن ها عدد اول مرسن می گوییم. به ازای p برابر ۲ و ۳ و ۵ و ۷ عدد مرسن اول است اما اگر p را ۱۱ بگیریم مرکب است. تا امروز ۳۹ عدد اول مرسن شناخته شده اند که آخرینشان به ازای p=۱۳۴۶۶۹۱۷ به دست میآید و ۴۰۵۳۹۴۶ رقم دارد. یعنی بین همه اعداد اول کوچکتر از ۱۳۴۶۶۹۱۷ تنها ۳۹ تا عدد اول مرسن تولید می کنند.
اعداد اول دوقلو: به اعداد اولی که پشت سر هم هستند اعداد اول دوقلو می گوییم مثلا ۳ و ۵ و یا ۱۱ و ۱۳. هیچ کس نمی داند که پراکندگی این اعداد در میان سایر اعداد چگونه است و آیا تعداشان متناهی است یا نه بزگترین جفت شناخته شده ۱-۲۱۶۹۶۹۰×۳۳۲۱۸۹۲۵ و ۱+۲۱۶۹۶۹۰×۳۳۲۱۸۹۲۵ هستند.
برای پیدا کردن اطلاعاتی راجع به جستجوی اعداد اول می توانید به سایت پروژه GIMPS سر بزنید.
در نظر گذشتگان آزمایش اول بودن یک عدد و یافتن عوامل اول آن یک سوال بودند. کافی بودن عدد مورد نظر را به ترتیب به همه اعداد کوچکتر از آن تقسیم کنیم. اگر به هیچ کدام بخشپذیر نبود اول است و اگر بخشپذیر بود به این ترتیب عوامل اول آن معلوم می شوند. کم کم این فرایند ساده تر شد، مثلا حالا می دانیم که تقسیم کردن به همه اعداد کوچکتر از جذر عدد مورد نظر کافیست ( چرا؟ )، همچنین در صورتیکه اعداد اول کوچکتر از عدد مورد نظر شناخته شده باشند، تقسیم کردن به این اعداد کافیست. این روش ها برای اعداد نسبتا کوچک کار می کنند اما وقتی با عددی مثلا ۱۰۰ رقمی طرف باشیم اوضاع فرق می کند. حتی با سریع ترین کامپیوترها هم تقسیم کردن یک عدد ۱۰۰ رقمی به همه اعداد کوچکتر از آن خیلی بیشتر از عمر عالم طول می کشد.
فرض کنید بخواهیم یک عدد ۱۰۰ رقمی را به همه اعداد کوچکتر از خودش تقسیم کنیم. برای این کار باید حدود ۱۰۹۹ تقسیم انجام دهیم اگر کامپیوتر ما بتواند در هر ثانیه ۱۰۰۰ میلیارد یعنی ۱۰۱۲ تقسیم انجام دهد برای انجام کل کار ۱۰۸۷ ثانیه وقت لازم است.
یک سال ۲۴×۳۶۰۰×۳۶۵=۳۱۵۳۶۰۰۰ ثانیه است یعنی حدود ۱۰۸ ثانیه و این یعنی کار ما ۱۰۷۹ سال طول خواهد کشید. عمر عالم دست بالا ۱۵ میلیارد سال تخمین زده می شود. حتی یک دهم یا یک صدم یا یک هزارم این محاسبه هم غیر قابل انجام است.
حوالی قرن هفدهم توجه ریاضیدانان به این نکته جلب شد که شاید راه های ساده تری برای آزمایش اول بودن یا نبودن یک عدد وجود داشته باشد چرا که روش تقسیم مقدار زیادی اطلاعات اضافی ( لیست عوامل اول، وقتی که جواب سوال منفی است ) تولید می کند که برای پاسخ گفتن به این سوال نیازی به آن ها نیست. فرما مدتی بعد نشان داد که این حدس صحیح بوده است. فرما (۱۶۰۱-۱۶۶۵) قضیه ای را ثابت کرد که تا امروز اساس همه روش های آزمایش اول بودن اعداد است و ما آن را با نام قضیه کوچک فرما می شناسیم.
قضیه کوچک فرما: اگر p عددی اول و b عدد دلخواهی باشد که p و b نسبت به هم اول باشند، آن گاه باقیمانده تقسیم
بنابراین برای اینکه بدانیم عددی مثل a اول است یا نه کافیست عدد دلخواهی مثل b که نسبت به a اول باشد انتخاب کنیم و باقیمانده تقسیم
تنها مشکلی که وجود دارد این است که از آنجا که عکس قضیه فرما لزوما درست نیست - یعنی ممکن است بعضی از اعداد مرکب هم این خاصیت را داشته باشند - اگر باقیمانده b باشد نمی توان در مورد اول بودن یا نبودن a اظهارنظری کرد. این مشکل هم ۳۰۰ سال بعد در تابستان ۲۰۰۲ بوسیله سه ریاضیدان هندی به نامهای Agrawal، Kayal و Saxena حل شد و حالا می توانیم در کسری از ثانیه در مورد اول بودن عددی با ۱۰۰ رقم اظهارنظر کنیم.
|
| |||||||||||
| |||||||||||
|
| |||||||
| |||||||
|
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
|
به نام خدا رياضيات مثل هر دانش ديگري زنده است و همچون موجودي زنده هرگز در جاي خود نمي ايستد و مي تواند تا مرز هاي بي نهايت پيش رود كه انسان امروزي تصور انها را هم در ذهن خود نمي تواند داشته باشد. استقراء استقراء شكلي از تعميم است كه براساس نتيجه گيري از مشاهده ها و ازمايشهاي معيني بدست امده باشد. استقراء به طور معمول با تجزيه و تحليل و مقايسه و مشاهده است آغاز مي شود. سپس نتيجه حدس زده شده درباره پديده هاي مشابه تحقيق مي شود و بعد از مشاهده ها و آزمايشها ي زيادي پذيرفته مي شود كه اين قانون يا رابطه براي همه حالتها مشابه درست است . روش استقراء روش مناسب در حل برخي از مسائل رياضي مخصوصا رياضيات محاسبه اي مي باشد. اصل استقراء رياضي هرگاه (1) p ارزش درست داشته باشد(حكم جزئي). و با قبول درستي (k ) p (حكم جزئي) بتوان درستي (1+ k ) p را ثابت نمود. انگاه مي توان پذيرفت كه همه اعداد طبيعي خاصيت p را دارند. در اين روش دو مرحله را مي توان در نظر گرفت: مرحله اول: اثبات درستي (1) p كه ان را ابتدا ي استقراء مي نامند مرحله دوم: فرض مي كنيم ( k ) p درسا باشد كه ان را فرض استقراء مي ناميم و با استفاده از ان ثابت مي كنيم )1+k) p درست است كه ان را حـكم اســتـقراء مي نامند. دقت داشته باشيد كه روش استقراء را مي توان براي مسائلي استفاده كرد كه: الف:در مسئله كميت مطرح باشد نه كيفيت ب: با اعداد طبيعي يا اعداد صحيح سرو كار داشته باشيم ج:در انتخاب مبناي استقراء يعني گام اول دقت كرد و بعد گامهاي بعدي يعني گذر از k به1+ k را برداشت. د: البته مسئله هايي وجود دارند از جمله قضيه فرما كه اگر چه با اعداد طبيعي سروكار داريم اما با استقراء رياضي حل نمي شود. مثال: ثابت كنيد به ازاءهر عدد طبيعي مانند a دو عدد طبيعي مانند k و L هست به طوري كه: a=3k-5L دو عدد طبيعي مانند k و L هست به طوري كه با در نظر گرفتن 2= k و 1= Lمعلوم مي شود ابتداي استقراء برقرار است. حل: فرض استقراء: دو عدد طبيعي مانند k و Lوجود دارند به طوري كه -5L m =3k حكم استقراء: دو عدد طبيعي مانند ` k و` L وجود دارند به طوري كه ` L `+5 k m+1 =3 اثبات: m =3k+5L
1 = 3(2)- 5(1) m + 1 =3 (k+2)-5(L+1) با در نظر گرفتن k+2 `= k و `= L+1 L معلوم مي شود كه حكم استقراءبرقرار است.
اعداد اول به اعدادي ؛ اعداد اول مي گويند كه: اولا تجذيه ناپذير باشند ثانيا اعدادي كه فقط بر يك و خودشان بخش پذيرند ثالثا اعدادي كه هيچ مقسوم عليه اول و كوچكتر يا برابر با جذرش نداشته باشند. عدم وجود فرمولي ساده براي اعداد اول دليلي براي پراكندگي و نا مرتب بودن انهاست. در نظريه اعداد ثابت مي شود كه اگر 1 n ¹ مفروض باشند و هيچ مقسوم عليه اول و كوچكتر يا برابر جذرش نداشته با شند انگاه n عددي اول است . براي درك بيشتر به مثال زير توجه كنيد: |
دركتب تواريخ اسلامي چنين نقل كرده اند كه يكي از پادشاهان محلي هندبه نام شرام مردي سفاك وظلم پيشه بود ودراند ك مدتي براثرسوء سياست و بي خردي مملكتش دستخوش فقرو
رعايايش قرين تيره روزي شدند. برهمنان ان ديار براي رهايي ازاين مصيبت به فكرچاره
افتادند. عاقبت يكي ازايشان كه سمسانام داشت بازي شطرنج رااختراع كرد وبه حضورشاه
برد وبد وفهماند كه شاه شطرنج با انكه مهمترين مهره بازي است بي د ستياري مهره هاي
ديگرنميتواند به حركتي مبادرت كند واگرمعاونت سايرمهره ها نباشد هرحركتي كه اوناشي شود مذ بوح ومنجربه هلاكت است.
پادشاه را اين بازي فوق العاده مسروركرد وبه برهمن وعده داد كه رفتارخود راعوض كند
وبه پاداش اين اختراع شگرف هرچه بخواهد به اوبدهدبرهمن كه ميخواست پادشاه رادرس
ديگري درباب احتياط وميانه روي بياموزد گفت تنها پاداشي كه متوقعم اين است كه پاد شاه
امرفرمايد كه گماشتگان درخانه ي اول شطرنج يك دانه ي گندم بگذارند ودرخانه ي دوم دو
برابرگندم خانه ي اول ودرخانه ي سوم دوبرابرعدد گندم خانه ي دوم به همين ترتيب تاخانه
اخرعده ي گندم هاي هرخانه رامضاعف خانه ي قبل ازان بنمايند ومجموع ان گندم ها را به
من بدهند. پادشاه ابتدابه حقارت اين در خواست برهمن خند يد ولي پس ا ز ا نكه به عظمت
كميت حاصل گندم ها پي برد ديد كه از عهده ي انجام خواهش برهمن برنمي ايد.
ازلحاظ تاريخي درست معلوم نيست كه اين قصه حقيقتي داشته يا نه بلكه قريب به يقين است
كه بعضي ازحكماء ان رابراي گرفتن درس عبرت وضع وجعل كردند ولي ازوقتي كه قضيه
مزبورشايع شده علماي رياضي درصدد پيداكردن مجموع گندم خانه شطرنج به طرزمذكور
درفوق برامده ودرباب ان زحماتي كشيده اند. حاليه كه جداول لگاريتم و دستو رها ي جبري
مدون دردست است حساب اين گونه مسائل اسان وكارمحصلين كلاسهاي متوسطه است ولي
درگذ شته علوم رياضي ترقيا ت عصرمارانداشته وحتي نوشتن معادلات باحروف و علامات
نيزمعمول نبوده است پيداكردن جواب مسائلي نظيرمسئله ي فوق سخت مشكل بود ه است.
مسئله ي فوق چنانكه اشاره شد مبني برحساب حاصل جمع يك تصاعدهندسي است باقدرنسبت
2 واين ايام يافتن جواب ان در چند دقيقه ممكن مي شود.
عشق به حساب
بسياري ازدانشمندان عشق مفرطي به حساب داشته اند. امپردانشمند شهيروعالم معروف فرانسوي در علاقه اي كه به اين قسمت داشته مشهوراست چنان كه گويند قبل ازا ين كه
ارقام را شناخته وقادربه نوشتن انها باشد باسنگ ريزه ولوبيا حسابهاي طولاني مي نمود.
ونيزگويند دركودكي كسالتي عارض وي شده بودوبراي اين كه فكرش راحت باشدمادرش
اوراازلوبياهاي عزيزش جدا ساخته بود. امپر لقمه ي ناني راكه پس ازسه روز گرسنگي
وپرهيزبه وي داده بودند خرد كرده مشغول محاسبا ت خود گرديد.
تهيه كننده : زهره ركني
|
ابوريحان محمد بن احمد بيروني ، نابغة نامدار ، نمونة مثالي زدني متفكران هوشيار و معتقد ايراني و بيشك يكي از بزرگترين دانشمندان جهان در تمامي اعصار است . اين محقق جسور در سوم ذي حجة سال 362 هجري قمري در «بيرون» خوارزم (ناحية مصب آمودريا در ساحل جنوبي درياچة آرال) در خانوادهاي خوارزمي تبار ، گمنام و شيعه مذهب (احتمالاً شيعه زيديه) به دنيا آمد . وي سالهاي آغازين عمر را در زادگاهش سپري كرد و به خوارزمشاهيان معروف به آل عراق كه در «كاث» فرمانروا بودند ، پيوست . ابونصر منصور بن علي عراق كه از خاندان شاهية خوارزم و از رياضيدانان و منجمان بزرگ ايراني بود ، تعليم و تربيت بيروني را بر عهده گرفت و بعدها رسالههاي مختلف رياضي خويش را به نام و براي شاگرد دانشورش نوشت . ابوريجان از همان آغاز جواني مشغول تحققيق و تأليف شد . خود نوشته است . كه در حدود سال 380 هجري قمري ، يعني هنگامي كه تقريباً 18 ساله بود ، به رصد ميپرداخت . وي همچنان با ديگر دانشمندان هم عصرش مراودات و مكاتبات علمي داشت و مكاتبات علمي بيروني و ابن سينا با يكديگر بسيار مهم و معروف است . ابوريجان تا حدود 23 سالگي در خوارزم و ظاهراً در رصد خانهاي مشغول تحقيق بود و حدوداً در سال 385 هجري قمري ، پس از انقراض خاندان آل عراق به دست مأمون بن محمد ، والي جرجانيه (گرگانج) ، و قتل ابو عبدالله محمد بن احمد ، آخرين حكمران آل عراق ، به ناچار زادگاهش را ترك كرد و تا چند سال از شهري به شهر ديگر رفت . در خلال همين سفرها به ري رفت و چنان كه خود در مقدمة كتاب مقاليد علم الهيئه نوشته است ، در انجا با ابو محمود خجندي و كوشيار بن لبان گيلي ملاقات كرد . بيروني در ري دچار تنگدستي و پريشانحالي بود و خود در اين باره حكايت جالبي را در آثار الباقيه نقل كرده است كه ما نيز به خلاصهاي از آن اشاره ميكنيم . روزي بيروني در ري با يكي از منجممان آن شهر رو به روه شد و دريافت كه وي در پارهاي از محاسبات نجومي خود اشتباه ميكند . بيروني خطاي منجم را تذكر داد و منجم ، كه اطلاعات علميش بسيار كمتر از بيروني بود و خود نيز احتمالاً اين مسئله را ميدانست ، به جاي پذيرش نقص كار ، با تكبر فراوان ابوريحان را تحقير و گفتة او را تكذيب كرد . بيروني متوجه شد كه دليل رفتار غير منطقي آن منجم ، توانگر بودن خود او و فقر بيروني است . جالبتر اين كه بعدها ، وقتي بيروني از تنگدستي رهايي يافت ، منجم نظر او را تصديق كرد . ابوريجان از ري به طبرستان و نزد مرزبان بن رستم از اميرزادگان آل باوند و صاحب كتاب مرزبان نامه رفت و كتاب مقاليد علم الهيئه را به نام او نوشت . همچنين مدتي نزد منصور دوم پسر نوح ساماني روزگار گذراند و از حمايت او برخوردار شد . در سال 387 هجري قمري ظاهراً به خوارزم برگشت و با ابوالوفا محمد بن محمد بوزجاني ، كه در آن هنگام در بغداد بود ، مكاتبه كرد و آن دو با يكديگر قرار گذاشتند كه همزمان در بغداد و خوارزم ، ماه گرفتگي را رصد كنند . ابوريحان در سال 388 هجري قمري به گرگان رفت و در دربار شمس المعالي قابوس بن وشمگير ، امير آل زيار ، از او به گرمي استقبال شد .قابوس مردي با فرهنگي و اديبي فاضل بود و به عربي و فارسي شعر ميسرود و در دربارش دانشمندان جايگاهي رفيع داشتند . بيروني كتاب آثار الباقيه را كه نخستين كتاب مشهور و عظيم او به عربي و دربارة گاهشماري است ، به نام شمس المعالي تأليف كرد . دانشمند ما حدود سال 399 هجري قمري به زادگاه خود بازگشت و در جرجانيه يا گرگانج (در شمال غربي خوارزم) به دربار ابوالعباس مأمون بن مأمون خوارزمشاه پيوست و در آنجا مقامي بلند يافت . سلطان محمود در مراجعت به غزنه در سجستان (افغانستان) در بهار سال 408 هجري قمري بيروني و جمعي از فضلا و اهل عمل گرگانج را همراه خود به غزنه برد . ابوريحان از آن پس و به اجبار ، شهر غزنه را مركز فعاليتهاي خويش قرارداد و شايد به صورت رسمي منجمي دربار محمود را به عهده داشت . در دوران سلطنت مردود بن مسعود ملقب به شهاب الدوله (پسر مسعود كه پس از قتل وي در سال 432 هجري قمري به قدرت رسيد) نيز بيروني مورد عنايت و احترام دربار بود و كتاب المجاهر في معرفه الجواهر ، در شناخت گوهرها و كانيها ، از تأليفات اين دورة اوست . آخرين اثر ابوريجان كتاب الصيدنه في الطب و دربارة داروشناسي است . به گفتة خودش در زمان تأليف اين كتاب ، بيش از هشتاد سال داشت و اين مايه پويايي فكري و عزم علمي در چنين سني بسيار شگفت انگيز است . تاريخ فوت ابوريجان را سال 440 هجري قمري و محل فوتش را غزنه دانستهاند ولي منطقي به نظر ميرسد كه وي كمي بعد از سال 442 هجري قمري فوت شده باشد ؛ زيرا همانطور كه در بالا گفتيم ، خود او تصريح كرده است كه در زمان نوشتن صيدنه ، بيش از هشتاد سال داشت و اگر تاريخ تولد بيروني حقيقتاً سال 362 هجري باشد ، نميتوان مرگش را در سال 440 هجري قمري دانست ؛ مگر اينكه ميلاد وي پيش از سال 362 هجري قمري باشد . ابوريحان شخصيتي اعجاب انگيز و منشور گونه داشت و بسيار پيشروتر از زمان خود به نظر ميرسيد . وسعت مشرب ، انصاف علمي ، ، دقت نظر ، دوري جستن از تعصبات و اشتياق غير قابل وصف او براي درك ، تحصيل و تحليل فرهنگها ، افكار و علوم جديد ، هويتي نسبتاً متفاوت با فرهنگ غالب آن روزگار به اين محقق شهير بخشيده بود . بيروني رياضيدان ، ستاره شناس ، جغرافيدان ، مورخ ، مردم شناس ، دين شناس و فيزيكداني بزرگ بود و تقريباً در همة علوم زمان خويش به جز كيميا (شيمي) محققي نكته سنج به حساب ميآمد و همواره با خرافات به مبارزه ميپرداخت . بسياري از دانشمندان غرب و شرق از وي به عظمت ياد كردهاند و شخصيت پيشرو و منتقدش را با عباراتي به ياد ماندني ستودهاند . اين حكيم نامدار ، روحي وارسته و طبعي بلند داشت . روايت كردهاند كه وقتي تأليف كتاب قانون مسعودي به پايان رسيد ، سلطان مسعود غزنوي يك بارِ فيل نقره براي بيروني هديه فرستاد ولي وي آن را به خزانة حكومت بازگرداند و گفت : «مرا به اين مال نيازي نيست ، زيرا عمري به قناعت زندگي كردهام و خوش ندارم پس از اين روشي ديگر در پيش گيرم» . بيروني تا آخرين لحظة عمر در پي آموختن بود و شايد نقل آن حكايت بسيار معروف و آشنا ، همچنان خالي از لطف نباشد . در آخرين ساعت حيات اين متفكر بزرگ ، وقتي نفسهايش به شماره افتاده بود ، دوست فاضلي بر بالين وي حاضر شد . ابوريحان با ضعفي كه تمام وجودش را فرا گرفته بود ، از دوستش مسئلهاي پرسيد . آن مرد اندوهگين و شگفت زده گفت : «اكنون چه جاي چنين پرسشي است ؟» و ابوريجان زمزمه كرد : «بدانم و بميرم بهتر است ندانم و بميرم ؟» آن دوست پاسخ مسئله را توضيح داد و آنجا را ترك كرد ولي هنوز چند قدمي بيشتر نرفته بود كه شيون از خانة بيروني برخاست . ابوريحان در تمام ايام سال به جز نوروز و مهرگان و روزهايي كه به ضرورتي كار خويش را تعطيل ميكرد ،مشغول محقيق وتفحص بود . از ويژگيهاي چهره و ظاهر بيروني نيز مانند بيشتر بزرگان اين كشور ، اطلاعات زيادي در دست نيست و تنها همين قدر ميدانيم كه او چهرهاي گندمگون ، شكمي بزرگ و ريشي انبوه داشت . در سال 427 هجري قمري ، ابوريجان بنابر خواهش شخصي ، فهرستي از آثار محمد بن زكرياي رازي ، پزشك ، شيميدان و فيلسول و الا مقام سدههاي سوم و چهارم هجري قمري ، فراهم كرد و به دنبال آن فهرست عناوين 113 جلد از كتاب و رسالاتي كه خود تا به آن هنگام نوشته بود نو همچنين اسامي 25 جلد كتاب يا رسالهاي كه ديگران به نام وي نوشته بودند ، آورد . بنابر اين . مشخص است كه 113 اثر ياد شده ، شامل همة آثار اين محقق بزرگ نيست ؛ زيرا وي سالها بعد از اين تاريخ زنده بود و تا آخرين روزهاي زندگي مينوشت . بر اساس تحقيقات گستردة پژوهشگراني كه در صد سالة اخير آثار بيروني را گردآوري ، ترجمه و بررسي كردهاند (و به عنوان يك ايراني با شرمندگي بايد اضافه كنم كه دربارة اين دانشمند نيز مانند ديگر دانشمندان ما تقريباً دقيقترين و اصوليترين پژوهشها از آنِ غربيها است) نوشتههاي وي در ميتوان در حدود 148 تا 153 عنوان تخمين زد و ظاهراً تنها 35 جلد از اين آثار از دستبرد حوادث محفوظ مانده است . تنوع موضوعي اين كتب و رسالات از وسعت معلومات ابوريحان حكايت ميكند . اين آثار در زمينة حساب ، هندسه ، مثلثات ، ستاره شناسي ، نقشهكشي ، فيزيك ، مكانيك ، جغرافيا ، تاريخ ، گاهشماري ، دين شناسي ، اسطوره شناسي ، پزشكي ، كاني شناسي ، زبان شناسي ، ادبيات ، فلسفه و … تأليف يا ترجه شدهاند . ابوبيجان كتاب التفهيم لا وائل صناعه التنجيم را به هر دو زبان فارسي و عربي نوشت و در نوشتن متن فارسي آن نهايت ذوق ادبي را به كار برد . اين كتاب به همراه دانشنامة علايي ابن سينا و تعدادي ديگر از آثار فارسي سدههاي چهارم و پنجم هجري قمري زمينهاي فراهم آوردند تا به مرور زمان زبان فارسي بتواند به عنوان دومين زبان علمي و فلسفي جهان اسلام مطرح شود . التفهيم شامل پنج باب است و بابها به ترتيب ، موضوعات زير را در بر ميگيرند : هندسه ، حساب و جبر و مقابله ، هيئت و جغرافيا و بوم شناسي ، اسطرلاب ، احكام نجوم . بيروني در هر يك از اين پنج باب ، اصطلاحات مربوط به علم يا فن مورد بحث را به شكل سئوال و جواب شرح داده است . به اين ترتيب ، التفهيم گنجينة گرانبهايي از اصطلاحات علمي را شامل ميشود كه با كمال دقت و مهارت و با عباراتي كوتاه تعريف شدهاند . كتاب مقاليد علم الهيئه (يعني كليدهاي دانش ستاره شناسي) نخستين كتابي است كه دربارة مثلثات كروي و مستقل از علم نجوم نوشته شده است . نام اين اثر نشان ميدهد كه بيروني ، مثلثات كروي را كليد فهم ستاره شناسي ميدانست . كتاب راشيكات الهند بيروني كتابي است كوچك كه دربارة نسبت و تناسبت نوشته شده و در تاريخ رياضي بسيار اهميت دارد . بيروني در اين كتاب ، آنچه را كه دربارة نسبت و تناسب در رياضيات هندي ميدانست ، با آنچه در اين باره از رياضيات يوناني به دست او رسيده بود ، تلفيق كرد و چنين كاري تا پيش از آن سابقه نداشت . بيروني چند روش براي تصوير نقاط متعلق به سطح كره بر يك صفحه اختراع كرده است . محاسبة تقريبي وتر يك درجه و مقايسة نتيجه محاسبات خود با محاسبات بطلميوس در اين مورد از ديگر تلاشهاي ارزشمند ابوريجان محسوب ميشود . مقدار تقريبي نسبت قطر دايره به محيط آن (n/1 ) را دانشمند ما با روشي جديد به دست آورد و اندازة تقريبي ضلع نُه ضلعي منتظم محاطي را به وسيلة حل معادله 3x = x3 + محاسبه كرد . بيروني نه تنها رياضيات نظري و كاربردي يوناني و هندي را به خوبي ميدانست ، بلكه مباحث مطرح شده در اين زمينه را تحليل و نقد ميكرد . او تعدادي از آثار رياضي و نجوم هنديان را به عربي برگرداند و بعضي از آثار مهم رياضي يونان را به سانسكريت ترجمه كرد . بيروني به طالع بيني و پيشگويي بر اساس وضعيت ستارگان و صور فلكي ، كه به آن علم احكام نجوم ميگفتند ، هيچ اعتقادي نداشت ؛ هر چند كه اين فن را به كمال ميدانست و در دربار محمود غزنوي نيز از اين راه روزگار ميگذراند . بيروني در كتاب تحقيق مالهنه كه اثري است فوق العاده نفيس و بيمانند در عصر خويش (و دقيقترين و جامعترين متني محسوب ميشود كه تا آن روز دربارة فرهنگ ، علم ، فلسفه ، اسطوره ، خرافه ، مردم شناسي ، جامعه شناسي ، دين شناسي تطبيقي ، آداب و رسوم ، ويژگيهاي جغرافيايي ، تاريخ و … كشور هندوستان نوشته شده) نظرية بسيار پيشرفتهاي دربارة علل پيدايش سرزمين هند از ديدگاه زمين شناسي ارائه ميدهد . اين محقق بزرگ در كتاب المجاهر في معرفه الجواهر كه دربارة شناخت گوهرها (سنگهاي قيمتي) و فلزات نوشته شده است ، علاوه بر معرفي حدود 300 نوع كاني و سنگ و بيان آراء حكماي ايراني ، يوناني و … در اين باب ، آزمايشهاي خود را دربارة خواص الماس ، زمرد و … شرح ميدهد . كتاب الصيدنه في الطب ابوريحان كه فرهنگنامة بسيار ارزشمندي در باب داروشناسي است ، فهرستي از داروهاي گياهي ، جانوري ، و كاني آن روزگار را شامل ميشود و از معتبرترين كتب مرجع طب سنتي ما به شمار ميآيد . اين شاهكار كم نظير ، ما را به سنت قديمي داروشناسي ايراني آشنا ميكند . بيروني در تنظيم اين اثر ، علاوه بر بررسي كلية كتب داروشناسي ايراني ، از منابع بابلي ، يوناني ، سرياني ، هندي و عربي نيز استفاده كرده است . در اينجا بايد يادآوري كرد كه ابوريحان علاوه بر زبان فارسي كه زبان مادري او بود ، زبان عربي سانسكريت و سرياني را به كمال ميدانست و با زبان يوناني و عبري نيز آشنايي داشت . كتاب عظيم و بي بديل آثار الباقيه عن القرون الخاليه را بيروني در باب گاهشماري نوشت و در اين اثر ، تقديم اقوام و پيرامون اديان و مسلك گوناگون را بررسي و با يكديگر مقايسه كرد و مبدأ تواريخ مختلف ، روشهاي تبديل تواريخ به يكديگر و ايام و شيوههاي روزه داري ، جشن و سوگواري معتقدان به اديان و آيينهاي متنوع را توضيح داد . در اين كتاب ، اسامي پيامبران از آدم تا خاتم ، فهرستي از وقايع زندگي پيامبر اسلام (ص) به ترتيب زمان ، نامهاي پادشاهان ، دودمانهاي شاهي ايران ، مصر ، بابل و روم و تواريخ مربوط به هر يك و … و به شكل جداول بسيار دقيق تنظيم شده است . حدود 2000 ق . م / 2621 ق . ه . سنگ بناي نخستين رصد خانه به نام «استون هنج» گذاشته شد . 430 ق . م / 1051 ق . ه . «دموكريتوس» (ذيمقراطيس) گفت كه همه چيز از اتم ساخته شده است . حدود 330 ق . م . / 951 ق . ه . «ارسطو» هيئت جهان را مدارهاي دايرهاي هم مركزي خواند كه در مركز آن بود . 300 ق . م . / 921 ق . ه . «اقليدس» دانش رياضي زمان خود را گردآوري كرد . 265 ق . م . / 886 ق . ه . «ارشميدس» دريافت كه وزن هر جسم با فرو رفتن در آب ، به اندازة وزن آب هم حجم آن كاهش مييابد . حدود 235 ق . م . / 856 ق . ه . «اراتوستن» با دقت تحسين برانگيزي اندازة زمين را محاسبه كرد . 79 م . / 543 ق . ه . «پليني» هنگام بررسي انفجار آتشفشاني كوه «وزو» درگذشت . 400 م . / 22 ق . ه . دانشمندان اسكندريه براي نخستين بار واژة «شيمي» را به كار بردند . 865 م . / 244 ه . ش . / 251 ه . ق . «محمد بن زكرياي رازي» ، شيميدان و پزشك بزرگ ايراني و كاشف الكل و اسيد سولفوريك ، چشم به جهان گشود . حدود 1000 م . / 379 ه . ش . / 390 ه . ق . «ابوريحان بيروني» در كتاب «آثار الباقيه عن القرون الخاليه» بسياري از مسائل دقيق زمين شناسي ، از جمله دليل فوران چاههاي آبفشان (آرتزين) را شرح داد . حدود 1015 م . / 394 ه . ش . / 406 ه . ق . «ابن سينا» كتاب «قانون» را به پايان رساند . حدود 1020 م . / 399 ه . ش . / 411 ه . ق . «ابن هيثم» بزرگترين فيزيكدان قرون وسطي ، نحوة كار عدسيها و آينههاي همگرا را توضيح داد . 1054 م . / 433 ه . ش . / 446 ه . ق . ستاره شناسان چيني «نواختري» را شناسايي كردند كه آثارش هنوز در راه شيري ديده ميشود . 1490 م . / ه . ش . / 896 ه . ق . «لئوناردو داوينچي»خاصيت مويينگي را در مايعات بررسي كرد . 1543 م . / 922 ه . ش . / 950 ه . ق . «نيكولاس كوپرنيك» در كتابش به نام «در باب حركت اجرام آسماني» ، خورشيد را مركز منظومة شمسي دانست . «آندرياس وساليوس» آناتومي انسان را به شكل علمي مطالعه كرد . حدود 1550 م . / 929 ه . ش . / 957 ه . ق . «لئونارد ديگز» تلسكوپي انعكاسي (بازتابي) و بعد از آن تلسكوپي انكساري ساخت . 1572 م . / 951 ه . ش . / 980 ه . ق . «تيكو براهه» نواختري را مشاهده كرد . «پراسپرو آلپيني» پيبرد كه گياهان داراي دو جنس نر و مادهاند . 1596 م . / 975 ه . ش . / 1005 ه . ق . «جان جرارد» مجموعة دانش گياه شناسي زمان خود را در كتاب «گياهان دارويي» v نواختر : سوپر نُوا ، ستارهاي كه ناگهان ميدرخشد و در طي چند ماه به حالت اول بر ميگردد . گرد آورد 1608 م . / 987 ه . ش . / 1017 ه . ق . «هانس ليپرشاي» تلسكوپي انكساري اختراع كرد كه نخستين مورد اين اختراع به شمار ميآيد كه مستند به اسناد تاريخي قابل اعتماد است . 1609 ـ 1619 م . / 988 ـ 998 ه . ش . / 1018 ـ 1029 ه . ق . «يوهانس كپلر» قوانين حركت سيارات را منتشر كرد . 1610 م . / 989 ه . ش . / 1019 ه . ق . «گاليلئو گاليلئي» ماههاي مشتري را با تلسكوپ مشاهده كرد . 1628 م . / 1007 ه . ش . / 1038 ه . ق . «ويليام هاروي» كشف گردش خون را اعلام كرد . 1643 م . / 1022 ه . ش . / 1053 ه . ق . «توريچلي» فشارسنج جيوهاي را اختراع كرد . 1656 م . / 1035 ه . ش . / 1066 ه . ق . «كريستين هويگنس» توضيح صحيحي دربارة حلقههاي زحل داد و ساعت آونگ دار را ابداع كرد . 1662 م . / 1041 ه . ش . / 1073 ه . ق . «رابرت بويل» قانوني را كشف كرد كه فشار و حجم گاز را به هم ارتباط ميدهد . تأثيري كه آثار و كشفيات نيوتن بر دانش بشري گذاشت ، چنان روشن است كه نيازي به ذكر آن نيست . برجستهترين دانشمند نيمة اول قرن بيستم ، مردي كه در عصر پيشرفت علم و تكنولوژي مظهر علم و دانش است ، برجستگي و نبوغ نيوتن را به قدري روشن بيان كرده است كه جاي هيچ صحبتي باقي نميماند . «آلبرت اينشتين» در مقدمهاي براي كتاب نور شناسي نيوتن ـ كه در قرن بيستم تجديد چاپ شده است ـ مينويسد : «جهان هستي براي نيوتن همچون كتابي گشوده بود كه بدون هيچ كوششي قادر به خواندن كلمات آن بود . چنين به نظر ميرسد كه مفاهيمي كه او براي نظم و ترتيب دادن يافتهها و تجربياتش مورد استفاده قرار ميداد ، به صورت خودجوش از خود تجربيات سرچشمه ميگرفت ؛ از تجربياتي عالي كه او همانند بازيچهاي آنها را نظم و ترتيب داد و همراه با جزئياتشان توصيف كرد . در واقع او آزمايشگر ، نظريه پرداز ، مكانيك و هنرمندي تمام عيار بود . او محكم ، مطمئن و تنها بيش از همة ما ايستاده و هر كلمه و عددي كه از او به جا مانده است ، نشانگر ابتكار و دقت موشكافانة اوست .» تهیه و تنظیم : سید علیرضا کلالی |
| |||||||||||||
|
دنباله فيبوناچي و عدد طلايي |
|
لئوناردو فيبوناچي ايتاليايي حدود سال 1200 ميلادي مساله اي طرح كرد : فرض كنيد كه يك جفت خرگوش نر و ماده در پايان هر ماه يك جفت خرگوش نر و ماده جديد بدنيا بياورند ... اگر هيچ خرگوشي از بين نرود , در پايان يك سال چند جفت خرگوش وجود دارد؟؟؟
فيبوناچي تصميم گرفت براي محاسبه تعداد انها Fn را تعداد جفتها در شروع ماه N ام فرض كند. Fn= Fn-1 + Fn-2 با استفاده از اين فورمول و مقادير اوليه F1 =1 و F2 =2 ميتوان تعداد جفتها را پس از يك سال بدست اورد و نوشت F12=233 . حالا اگر در اين دنباله هر عدد را به عدد قبليش تقسيم كنيم يك همچين سري را خواهيم داشت: 1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1·5, 5/3 = 1·666... 8/5 = 1·6, 13/8 = 1·625, 21/13 = 1·61538 و ... كه هرچه جلو بريم بنظر مي ايد كه به يك عدد مخصوص ميرسيم . براي بهتر ديدن موضوع به نمودار زير توجه كنيد:
ما اين عدد را عدد طلايي ميناميم كه اين عدد تقريبا برابر است با : ... 1.618033 به عبارتي ديگر حد اين دنباله به عدد طلايي ميرسد:
سري فيبوناچي در طبيعت: حالا ميام و به اين دنباله به صورت ديگري نگاه ميكنيم : اگر ما دو مربع به ضلع يك در كنار هم بگزاريم و در بالا اندو يك مربع با ضلع 2 بگزاريم و همين طوري تا اخر ... ما شكلي خواهيم داشت مثل شكل پايين :
اين مستطيل به مستطيل فيبوناچي معروف است.حالا اگر نقاطي از اين شكل را به هم وصل كنيم به شكل زير ميرسيم :
كه شبيه اين شكل را ميتوان در طبيعت و در شكل زير ديد:
از ديگر مثالهاي اين دنباله در طبيعت ميتوان به دانه هاي گل افتابگردن يا به تعداد گلبرگ بعضي گلها اشاره كرد (براي اطلاعات بيشتر به اينجا يا اينجا مراجعه كنيد) .
عدد طلايي در زمانهاي قديم هنرمندان يوناني به خوبي رياضي دانان مستطيل زيبايي مي شناختند كه از نظر هنري عرض 1 و طول X داشت در اين مستطيل هر وقت مربعي به ضلع 1 را از ان جدا كنند باز همان مستطيل با همان نسبتهاي مستطيل اصلي باقي ميماند . استفاده هاي اين عدد: هرم " ريم پاپيروس " در اهرام ثلاثه يكي از قديمي ترين مثالها از استفاده از اين عدد در ساخت بناهاست ...
باستان شناسان مطمئن نيستند كه ايا اين كار از قصد انجام شده يا اتفاقي بوده است ! مثال ديگر در بناي پارتنون در يونان وجود دارد .براي ساخت اين بنا كه در 440 BC ساخته شده است از مستطيل طلايي استفاده شده است:
در شكل زير نقشه اين بنا را ميتوانيد ببينيد ... امتحان كنيد ببينيد وقتي طول هر كدام از مستطيلهاي در شكل را به عرض ان تقسيم ميكنيد عدد طلايي بدست مي ايد؟؟؟
چگونگي كشيدن يك مستطيل طلايي:
از استفاده هاي ديگر اين عدد :
|
|
| ||||||
| ||||||
| ||||||
هنر حل مساله :
استراتژی جورج پولیا در حل مساله:
پولیا می گوید : روند حل مساله عبارت است از :" جستجوی راه خروج از دشواری ها یا مسیر عبور از مانع ها " . پولیا مراحل حل مساله را که شامل چهار مرحله است به صورت زیر بیان می کند :
1) فهم مساله
2) تهیه طرح یا نقشه مناسب برای حل مساله
3) اجرای طرح یا نقشه
4) بازنگری
1- فهم مساله : برای حل مساله ابتدا باید صورت مساله را خوب درک کرد . پس اولین وظیفه برای حل یک مساله , فهم درست و کامل یک مساله است . پولیا معتقد است برای حل یک مساله باید موارد زیر به خوبی روشن شود :
الف) چه چیزی را باید پیدا کرد ؟ ( مجهول چیست ؟)
ب) چه چیزی مفروض است ؟( معلومات چیست ؟)
ج) چه رابطه ای بین مجهولات و معلومات موجود است ؟
2- تهیه طرح یا نقشه برای حل مساله : ممکن است برای حل یک مساله چندین راه موجود باشد اما باید به دنبال طرحی بگردیم که ما را مستقیما به هدف برساند . درین راه می توان از مسایل کمکی نیز استفاده کرد .
کهلر آزمایشی انجام داده است به این ترتیب که : میمونی را در اتاقکی قرار می داد و در بیرون اتاقک موزی وجود داشت که دست میمون به آن نمی رسید , جانور با جدیت می کوشید تا به موز بیرون اتاقک دست یابد ولی بی نتیجه بود . در محدوده ای که دست او می رسید قطعه چوبی بود که جانور ظاهرا هیچ توجهی به آن نداشت ناگهان میمون چوب را برداشت و موز را حرکت داد و آن را خورد . حیوان برای برداشتن موز , از مساله ای دیگر که همان برداشتن قطعه چوب است استفاده کرد که به این مساله , " مساله کمکی یا فرعی " می گویند . با حل این مساله , پیدا کردن راه حل مساله هموار می گردد.
2- اجرای طرح یا نقشه : پس از تهیه طرح باید آنرا به اجرا گذاشت . نکته اساسی این است که شخص نظارت کامل بر پیشرفت اجرای طرح داشته باشد تا اگر زمانی احساس کرد که ممکن است او را به حل مساله نرساند بتواند طرح جدیدی را تهیه و اجرا کند .
3- بازنگری : پس از اتمام مرحله اجرا , حل کننده مساله باید یک بازنگری بر تمامی مراحل داشته باشد و جوابها و برهان ها را امتحان کند .
(( اگر می خواهید شنا یاد بگیرید با شجاعت وارد آب شوید و اگر می خواهید مساله ها را یاد بگیرید آنها را حل کنید . ))
جورج پولیا
/math/New%20Folder%20(3)/Senmerv%20-%20آشنایی%20با%20سری%20فیبوناچی_files/fibo1.gif)
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, ...
البته برخی از ریاضی دانان عدد صفر را جزو رشته فیبوناچی نمی دانند و یا حداقل آنرا جمله صفرم سری می دانند. نکته ای که تعجب برانگیز است آنکه اگر از عدد سوم نسبت اعداد این سری را به عدد قبلی حساب کنیم خواهیم داشت :1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, ...
و یا :1, 2, 1.5, 1,666, 1.6, 1,625, 1.6153, 1.6190, 1.6176, 1.6181, 1.6179و ...
بله بنظر می رسد که این رشته به سمت همان عدد طلایی معروف میل میکند. بگونه ای که اگر نرخ عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد 1.618033988749895 می رسیم که با تقریب 14 رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می دهد.fn = Phi n / 5½
که در آن Phi عدد طلایی میباشد. البته فرمول های دقیق دیگری وجود دارند که اعداد سری و یا اعداد بعدی (Successor) این سری را نمایش می دهند که دراین مطلب به آن نخواهیم پرداخت./math/New%20Folder%20(3)/Senmerv%20-%20آشنایی%20با%20سری%20فیبوناچی_files/fibo2.gif)
|
n å Fk = Fn+2 -1 k=1 F1+F2+F3+...+F2k+1=F2k+2 1+F2+F4+F6+...+F2k=F2k+1 n å F2k = FnFn+1 k=1 F2n = F2n+1-F2n-1 = Fn(Fn+1+Fn-1) = Fn(Fn+2Fn-1) = Fn(2Fn+1-Fn) F3n = F3n+1+F3n-F3n-1 F2n+1 = 4FnFn-1+F2n-2 f = 1 (1+Ö5) 2 = 1.6180339887498948204586834365638117720.... ¥ f = 13 + å (-1)n+1(2n+1)! 8 k=1 (n+2)! n!42n+3 ¥ f =1+å (-1)n+1 n=1 FnFn+1 Fn= (1+Ö5)n-(1-Ö5)n 2nÖ5 fn=Fnf +Fn-1 f = 2cos(p/5) =1sec(2p/5) 2 = 1 csc(p/10) 2 Xn= Fn+1 Fn fn =fn-1+fn-2 |
/قضیه%20فیثاغورث_files/Pythagorean.png) |
/قضیه%20فیثاغورث_files/Pythagorean_proof.png) |
/قضیه%20فیثاغورث_files/1.gif) |
درمیان جمیع دستگاههای لگاریتمی ممکن(با پایه بزرگتر از 1) تنها دو دستگاه متداولند ، که یکی ز آنها لگاریتمهای طبیعی هستند که بر مبنای عدد نپرین بنا شده اند. ودر ریاضیات عالی تنها لگاریتمهایی که تقزیبا منحصرا به کار میروند لگاریتمهای طبیعی اند.
تاریخچه
Leonhard Euler 1707-83 پایه لگاریتم طبیعی (~ 2.71828)، اولین بار توسط لئونارد اویلر (Leonhard Euler 1707-83) یکی از باهوشترین ریاضیدانان تاریخ ریاضیات مورد استفاده قرار گرفت. در یکی از دست خطهای اویلر که ظاهرا" بین سالهای 1727 و 1728 تهیه شده است با تیتر Meditation on experiments made recently on the firing of cannon اویلر از عدی بنام e صحبت می کند. هر چند او رسما" این نماد را در سال 1736 در رساله ای بنام Euler`s Mechanica معرفی میکند.
در واقع باید اعتراف کرد که اویلر کاشف یا مخترع عدد e نبوده است بلکه سالها قبل فردی بنام جان ناپیر (John Napier 1550-1617) در اسکاتلند هنگامی که روی لگاریتم بررسی می کرده است بحث مربوط به پایه طبیعی لگاریتم را به میان کشیده است. فراموش نکنید که شواهد نشان میدهد حتی در قرن هشتم میلادی هندی ها با محاسبات مربوط به لگاریتم آشنایی داشته اند.
در اینکه چرا عدد ~ 2.71828 بصورت e توسط اویلر نمایش داده شده است صحبت های بسیاری است. برخی e را اختصار exponential می دانند، برخی آنرا ابتدای اسم اویلر (Euler) می دانند و برخی نیز میگویند چون حروف a,b,c و d در ریاضیات تا آن زمان به کرات استفاده شده بود، اولر از e برای نمایش این عدد استفاده کرد. هر دلیلی داشت به هر حال امروزه اغلب این عدد را با نام Euler می شناسند.
کاربرد
اویلر هنگامی که روی برخی مسائل مالی در زمینه بهره مرکب در حال کار بود به عدد e علاقه پیدا کرد. در واقع او دریافت که در مباحث بهره مرکب، حد بهره به سمت عددی متناسب (یا مساوی در شرایط خاص) با عدد e میل میکند. بعنوان مثال اگر شما 1 میلیون تومان با نرخ بهره 100 درصد در سال بصورت مرکب و مداوم سرمایه گذاری کنید در پایان سال به رقمی حدود 2.71828 میلون تومان خواهید رسید.
در واقع در رابطه بهره مرکب داریم :
/عدد%20نپرین_files/56b6daaeaf3acf0ae2f4ce9ac972a619.png)
که در آن P مقدار نهایی سرمایه و بهره است، C مقدار اولیه سرمایه گذاری شده،r نرخ بهره، n تعداد دفعاتی است که در سال به سرمایه بهره تعلق می گیرد و t تعداد سالهایی است که سرمایه گذاری می شود.
در این رابطه اگر n به سمت بی نهایت میل کند - حالت بهره مرکب - فرمول را می توان بصورت زیر ساده کرد :
/عدد%20نپرین_files/fce9c2a1fa1e8e26ff92829bfeb47c75.png)
اویلر همچنین برای محاسبه عدد e سری زیر را پیشنهاد داد : /عدد%20نپرین_files/dadd2ae1d49186f2b27c34ae06205a45.png)
لازم است ذکر شود که اویلر علاقه زیادی به استفاده از نمادهای ریاضی داشت و ریاضیات امروز علاوه بر عدد e در ارتباط با مواردی مانند i در بحث اعداد مختلط، f در بحث توابع و بسیاری دیگر نمادها مدیون بدعت های اویلر است.
مثلثات کروی در نجوم در بخشها ی مختلف کاربرد وسیعی دارد از جمله از این کاربردها :
مثلثات و علم جغرافی
شکل کره زمین، در واقع نامنظم است و شبه کره geoid نامیده می شود. اما انحرافهایی از یکی از اجسام تابع محاسبه ریاضی نسبت به اندازه آنها کوچک اند.
تحلیل مسیرهای ماهواره های زمینی مصنوعی نشان داده است که یک بیضی وار مناسب با سه محور بهترین شکل را برای شبه کره به دست می دهد.
در واقع تفاوت بین دو محور واقع در صفحه استوایی(equatorial plane) آنقدر کوچک است که تاکنون برای اندازه گیریهای زمینی مشخص نشده است.
بنابراین در ژئودرزی عالی، کره زمین به صورت کره وار spheroid در نظر گرفته می شود.
در این مورد، اولین محاسبات دقیق توسط فردریش ویلهلم بسل انجام گرفت.
در 1924 بیضوار محاسبه شده توسط "J.HAYFORD"از لحاظ بین المللی شناخته شد.
جدیدترین مقادیر توسط "F.N.KRASOVSKIL" مشخص شده اند.این مقادیر برای کار در ژئودزی در روسیه به کار میروند.
نجوم کروی
مواضع کشتیها و هواپیماها، غیر از روش وضعیت، حتی امروزه نیز با استفاده از ستاره ها مشخص می شود. این روش زمانی تنها روش دریانوردی در دریاهای بزرگ بود و سیاحان سرزمینهای ناشناخته تنها به آنها اطمینان می کردند.
در این مورد اندازه گیریهای لازم با قطب نما، تئودولیت، سکستانت آیینه ای یا ابزار زاویه- اندازه گیری مشابه و ساعتی دقیق انجام می گرفت.
بعدها از رادیو برای انتقال علامت زمانی برای جهت یابی تقریبی کفایت می کند. در تعیین دقیق موضع مورد نظر باید اطلاعات مربوط به وضعیت ستارگان بسادگی قرار گرفته و حرکت خورشید، سیارات، ماه و ماههای مشتری و دستگاههای مختصاتنجومی را که وضعیتهای واقع در افلاک درآنها داده شده اند بدانیم.
اطلاعاتی از نجوم کروی که برای مقاصد دریانوردی دارای اهمیت اند در تقویمهای دریانوردی و نجومی آورده شده اند از دستگاههای افقی و استوایی.
این دستگاهها مانند تمام دستگاههای مختصاتی نجومی، مبتنی بر این حقیقت اند که آسمان پرستاره در نظر رصدکننده به صورت قسمتی از کره ای عظیم موسوم به کره سماوی آشکار می شود. موضع هر نقطه واقع بر این کره را می توان با استفاده از دو مختص عددی مشخص کرد.
هر دایره عظیمه با قطبهایش به عنوان دستگاهی مرجع برای این دو مختص مناسب است. بر این دایره یک زاویه در جهت مشخص شده از نقطه ای معلوم اندازه گیری می شود و اندازه دومی بر اندازه عظیمه عمومی گذرنده از نقطه ای که می خواهیم موضعش را معین کنیم و قطب دایره مبنا معین می شود.
علومی که از یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و تکمیل شد، از قرون یازدهم میلادی به بعد به اروپا منتقل شد، بیشتر شامل ریاضی و فلسفه ی طبیعی بود. فلسفه ی طبیعی توسط کوپرنیک، برونو، کپلر و گالیله به چالش کشیده شد و از آن میان فیزیک نیوتنی بیرون آمد. چون کلیسا خود را مدافع فلسفه طبیعی یونان می دانست و کنکاش در آن با خطرات زیادی همراه بود، اندیشمندان کنجکاو بیشتر به ریاضیات می پرداختند، زیرا کلیسا نسبت به آن حساسیت نشان نمی داد. بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیک از پیشرفت بیشتری برخوردار بود. یکی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود که آن هم در هندسه ی اقلیدسی خلاصه می شد.
در هندسه ی اقلیدسی یکسری مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف میشود و پنچ اصل به عنوان بدیهیات آن پذیرفته میشود و سایر قضایا با استفاده از این اصول استنتاج میشوند.
اصول
هندسه ی اقلیدسی بر اساس پنچ اصل موضوع زیر شکل گرفت
اصل اول - از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر کشید
اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد
اصل سوم - می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد
اصل چهارم - همه ی زوایای قائمه با هم مساوی اند
اصل پنجم - از یک نقطه خارج یک خط، یک خط و و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد.
ایراد اصل پنجم
اصل پنجم که به اصل توازی معروف است ایجاز سایر اصول را نداشت،جون به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود. در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا به یک اصل. بنابراین طبیعی بود که لزوم واقعی آن به عنوان یک اصل مورد سئوال قرار گیرد. زیرا چنین تصور می شد که شاید بتوان آن را به عنوان یک قضیه نه اصل از سایر اصول استخراج کرد، یا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرار داد
در طول تاریخ ریاضیدانان بسیاری از جمله، خواجه نصیرالدین طوسی، جان والیس، لژاندر، فورکوش بویوئی و ... تلاش کردند اصل پنجم اقلیدس را با استفاده از سایر اصول نتیجه بگیرنر و آن را به عنوان یک قضیه اثبات کنند. اما تمام تلاشها بی نتیجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همین اصل را در اثباط خود به کار می بردند. دلامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید
یانوش بویوئی یکی از ریاضیدانان جوانی بود که در این را تلاش می کرد. پدر وی نیز ریاضیدانی بود که سالها در این این مسیر تلاش کرده بود
و طی نامه ای به پسرش نوشت: تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش کنی، من پیچ و خم این راه را از اول تا آخر می شناسم. این شب بی پایان همه روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فرو برده است، التماس می کنم دانش موازیها را رها کنی
ولی یانوش جوان از اخطار پدر نهراسید، زیرا که اندیشه ی کاملاً تازه ای را در سر می پروراند. او فرض کرد نقیض اصل توازی اقلیدس، حکم بی معنی ای نیست. وی در سال 1823 پدرش را محرمانه در جریان کشف خود قرار داد و در سال 1831 اکتشافات خود را به صورت ضمیمه در کتاب تنتامن پدرش منتشر کرد و نسخه ای از آن را برای گاوس فرستاد. بعد معلوم شد که گائوس خود مستقلاً آن را کشف کرده است
بعدها مشخص شد که لباچفسکی در سال 1829 کشفیات خود را در باره هندسه نااقلیدسی در بولتن کازان، دو سال قبل از بوئی منتشر کرده است. و بدین ترتیب کشف هندسه های نااقلیدسی به نام بویوئی و لباچفسکی ثبت گردید.
(خوانده ميشود في ) نمايش ميدهند
