بررسی یک مسئله از "آنی شئنفلد"درآموزش هنر مسئله حل کردن واستنتاج یک قانون کلی از آن

این مقاله در مورد جهت دادن به بینش صحیح در حل مسایل ریاضی است.

 مسئله نهم مقاله ای که "آنی شئنفلد"در باب آموزش هنر حل مسئله بیان می کندکمی برای کسی که اولین بار با این مساله برخورد می کند مغالطه آمیز است.درواقع چگونگی حل آن کمی سردرگم کننده است.این مساله به صورت زیر بیان می شود: ....

ادامه نوشته

قَضیّهٔ چهاررَنگ یا حدس چهاررنگ

قَضیّهٔ چهاررَنگ یا حدس چهاررنگ از مسائل مشهور و قدیمی ریاضیات است که سال‌ها اثبات  نشده مانده بود. به بیان ساده (و نادقیق) این قضیه  می‌گوید:

برای رنگ کردن هر نقشه به طوری که کشورها و نواحی همسایه در نقشه هم‌رنگ نباشند فقط چهار رنگ کافی است.

این مسئله به صورت معادله ابتدا درسال۱۸۵۲ عنوان شد و سرانجام در سال ۱۹۷۶ با کمک رایانه  توسط کی اپپل و و.هیکن حل شد این کار در طول ۱۲۰۰ ساعت فعالیت سریعترین رایانه‌های زمان خود انجام شد. . که با دسته بندی بیش از چند میلیون گراف به این نتیجه رسیدند.

منبع:
http://fa.wikipedia.org

 

نظریه گراف

  در ریاضی و علوم کامپیوتر، نظریه گرافعلمی است که به مطالعه گراف‌ها می‌پردازد.گراف مجموعه‌ای از راس‌هاست که بوسیله یال‌ها به هم وصل شده‌اند.به عبارت ساده‌تر به مجموعه‌ای از نقاط که بوسیله خطوط به هم وصل شده‌‌اند، گراف گویند. مفهوم گراف در سال 1736 توسط  اویلر و با طرح راه‌حلی برای مساله پل konigsberg ارائه شد و به تدریج توسعه یافت.گراف‌ها امروزه کاربرد زیادی در علوم دارند. از گراف‌ها در شبکه‌ها،طراحی مدارهای الکتریکی, اصلاح هندسی خیابان‌ها برای حل مشکل ترافیک،و.... استفاده میشود. ...

ادامه نوشته

درخت «گراف»

 یک درخت گرافی است که هر دو راس آن بوسیله دقیقاً یک یال به هم متصل شده اند، یک جنگل گرافی است که دو راس آن با بیشتر از یک راس به هم متصل اند. یک جنگل در واقع از اتصال، مجموعه ای از درخت ها به وجود می آید. ....

ادامه نوشته

الگوي حل مسأله (problem-solving model)

الگوي حل مسأله (problem-solving model) 

الگوي حل مسأله (problem-solving model):
در اين الگو، شاگردان با بهره گيري از تجارب و دانسته هاي پيشين خود، درباره رويدادهاي محيط خود مي انديشند تا مشکلي را که با آن مواجه شده اند به نحو قابل قبولي حل کنند....

ادامه نوشته

ریاضیات

هدف :

 

«ریاضیات علم نظم است و موضوع آن یافتن، توصیف و درک نظمی است که در وضعیت‌های ظاهرا پیچیده‌ نهفته است و ابزارهای اصولی این علم ، مفاهیمی هستند که ما را قادر می‌سازند تا این نظم را توصیف کنیم» .

 

دکتر ریاضی استاد ریاضی و رییس دانشگاه صنعتی امیرکبیر نیز در معرفی این علم می‌گوید:...

ادامه نوشته

محاسبه عدد پی

محاسبه عدد پی

کمی بیش از دو قرن است که نسبت طول محیط دایره را به قطر آن ،با نشانهπ می شناسند. این نشانه حرف اول یک کلمه یونانی به معنای محیط است.برای نخستین بار «ویلیام جون»،ریاضیدان انگلیسی،در سال ۱۷۰۶ از این نشانه استفاده کرد و از میانه سده هجدهم که« لیونارد اولر» کتاب «آنالیز» خود را چاپ کرد دیگر در همه جا به کار رفت.ولی خود مفهوم این عدد (البته بدون اینکه نشانه ای برای ان در نظر گرفته شده باشد )،بیش از چهارهزار سال سابقه دارد.آنها که هرم مشهور « خیوپو س » رامورد بررسی قرار د اده اند در نسبت اندازه های آن،رد پاهای اشکاری از این نسبت یعنی نسبت محیط دایره به قطر آن دیده اند: خارج قسمتی که از تقسیم مجموع دو ضلع قاعده بر ارتفاع هرم به دست می آید، مساوی ۱۴۱۶/۳ است واین همان مقدار عدد π است که سه رقم بعد از ممیز ان دقیق است. «پاپیروس» معروف به «آهمس» روش زیر را برای ساختن مربعی که سطح دایره داشته باشد ،ذکر می کند: «از قطر دایره ، یک نهم آن را کنار بگذارید و مربعی بسازید که ضلع آن مساوی اندازه بقیه قطر باشد . این مربع هم ارز دایره خواهد بود .» از این مطلب نتیجه می شود که مقدار π برای آهمس ، برابر ۱۶۵۰/۳ بوده است . ظاهرا” سازندگان همرم ها ، از راز این عدد آگاه بوده اند.

در جریان چهار هزار سال بعد ، عددد πدچار دگرگونی های شدیدی شد . مقدار آن از ، که ارشمیدس داده بود و به صورت اعشاری آن ، ت دو رقم اعشار بعد از ممیز درست است ، به مقدار دقیق آن در سده نوزدهم رسید که تا ۷۰۷ رقم درست آن معلوم شد . در زمان ما به کمک حسابگرهای الکترونی ، مقدار عدد π تا بیش از ۱۰۰۰۰۰۰ رقم بعد از ممیز محاسبه شده است . سال ۱۸۸۲ را می تون در تاریخ عدد π ، تاریخ دگرگونی مهمی دانست . در این سال ، « لیندمان » ریاضیدان آلمانی ، خصلت اسرارآمیز این عدد را مشخص کرد : « عدد π نمی تواند ریشه ی یک معادله جبری با ضریب های صحیح باشد.»

آیا ریاضیات علمی منطقی است؟

منطق ریاضى، ترجمه mathematical logic است. از منطق ریاضى دو معنا مستفاد مى شود.

۱- منطق ریاضى به معناى خاص كه در واقع باید ترجمه The logic of mathematic باشد چرا كه ریاضیات مانند هر علم دیگرى از نظمهایى برخوردار است كه این نظمها تحت عنوان منطق مى آید و منطق ریاضى به معناى خاص بررسى ریاضى این نظمها یا قواعد است.

۲- معناى عامى هم براى منطق ریاضى متصور است كه عبارت است از: استفاده از روشها و تكنیكهاى ریاضى براى بررسى منطق. به این معنا كه منطق ریاضى یك علم كاربردى است و در مقوله ریاضیات كاربردى قرار مى گیرد. بین دو معناى عام و خاصى كه مطرح شد یك رابطه واقعى عام و خاص نیز وجود دارد.

كتاب «منطق ریاضى» ، كتابى به معناى خاص منطق ریاضى است. یعنى بررسى منطق متعلق به ریاضیات نه منطق به معناى عام. در واقع باید گفت كه معناى آن اخص است. یعنى كتابى است براى بررسى ریاضیات كلاسیك. شاید این سؤال پیش آید كه ریاضیات كلاسیك چیست؟ و مگر ریاضیات غیر كلاسیك نیز وجود دارد.

آیا ریاضیات علمی منطقی است؟...

 

ادامه نوشته

از بزرگان راجع به ریاضی بشونیم

 از بزرگان راجع به ریاضی بشنویم

ایمانوئل کانت
علم ریاضی درخشان ترین مثال برای این واقعیت است که چگونه استدلال محض دامنه تاثیر گذاریش را بدون کمک تجربه گسترش می دهد

فلیکس کلاین
افلاطون گفت : خدا هندسه دان است ، ژاکوبی این جمله را چنین تغییر داد : خدا حساب دان است ، سپس کرونکر آمد و این سخن به یاد ماندنی را باب کرد : خدا عدد های طبیعی را آفرید ، ما بقی کار انسان است

هرمان مینکوفسکی
عدد های صحیح سر چشمه کل ریاضیات هستند

خیام
ریاضیات، به پیشگامی سزاوارتر است

ائوریدس
اعداد نیرومندند و چون با هنر همراه گردند، مقاومت ناپذیرند

جی.جی. سیلوستر
هدف فیزیک نظری کشف قانون های جهان قابل فهم است ؛ هدف ریاضیات محض کشف قانون های فهم بشر

داوید هیلبرت
کسی که در جستجوی روش است بی آنکه مساله ای جدید در ذهن داشته باشد اغلب به نتیجه نمی رسد

پیر فرما
و شاید آیندگان از اینکه نشان داده ام قدیمی ها همه چیز را نمی دانستند ، سپاسگزار من باشند

آراگو
اویلر خیلی راحت محاسبه می کرد، به همان راحتی که انسان نفس می کشد یا عقاب خود را در آسمان نگه می دارد

جان لاک
اثبات ریاضی مانند الماس قاطع و شفاف است، و با چیزی جز استدلال دقیق نمی توان به آن رسید.

دمورگن
نیروی محرکه ابداع ریاضی استدلال نیست، تخیل است

د.یا. سترویک
باید به یاد داشته باشید که مفهوم های ریاضی نتیجه ای از کار ازاد ذهن نیستند بلکه انعکاسی از جهان واقعی و عینی دور وبر ما هستند که البته اغلب به صورت کاملا انتزاعی طرح می شود

آ.ن.کر یلاف
مهندس باید از روشهای کلی ریاضیات که در حل مجموعه ای از مسئله ها به کار می رود استفاده کند . تنها در این صورت است که می تواند به پرسشهای تازه ای که در رشته تخصصی او وجود دارد پاسخ گوید

ب.فلدلیوم
هر کشف تازه ای که در علوم طبیعی و صنعت رخ میدهد تنها از راه به کار بردن نتیجه گیری های جدید در عمل و یا زنده کردن نظریه های فراموش شده ریاضی است به این ترتیب نظریه های ریاضی از قبل راه پیشرفت علم وصنعت را پیش بینی می کنند

از : http://amath.blogfa.com

آموزش به وسيله کامپيوتر

آموزش به وسيله کامپيوتر

اين روش به مانند آموزش برنامه اي است با اين تفاوت که پيشرفت در مطالعه در کنترل ماشين است و فقط زماني که شاگرد در يک مرحله از آموزش موفق شد، اجازه پيشرفت و رياضت مطالب تازه به او داده مي شود.
کامپيوترهاي مورد استفاده در آموزش ، «ماشين آموزش» ناميده مي شوند. ماشين هاي آموزشي وسايلي هستند که آموزش را به طريق منظم عرضه مي کنند، و موجب فعاليت شاگرد و بازخورد فوري و آموزش انفرادي مي شوند.

  مشخصات ماشين هاي تدريس به طور خلاصه عبارتند از :

1- پاسخ را فوراً تقويت مي کند.
2- شاگرد براساس استعداد و توانايي خود برنامه را دنبال مي کند.
3- مفاهيم با يک سير منطقي در آن تنظيم شده اند.
4- پرسش ها به صورت زنجيره اي به يکديگر وابسته اند.
5- شاگرد در صورتي مي تواند به برنامه ادامه دهد که مراحل قبل را آموخته باشد.
6- اطلاعات مربوط به جوابهاي شاگردان، در آن نگهداري مي شود.
7- اطلاعات از طريق غيرکلامي (تصاوير ، نمودار و تصاوير متحرک) نيز به شاگردان ارائه مي شود.
8- ماشين بر خلاف انسان دچار عوارضي مانند بي حوصلگي، عصبانيت و ناراحتي نمي شود.  

  مباني نظري تدريس

در اين مبحث، به بررسي مفاهيمي که در زمينه تدريس رايج است مي پردازيم.  

  1- Education:

در گذشته به تعليم و تربيت و آموزش و پرورش اطلاق مي شد. امروز معادل فارسي پرورش را به کار مي برند. پرورش يا تربيت جرياني است منظم و مستمر که هدف آن ، هدايت و رشد جسماني، اجتماعي و اخلاقي يا بطور کلي رشد همه جانبه شخصيت دانش آ موزان در جهت کسب و درک معارف بشري و هنجارهاي اجتماعي مورد پذيرش و کمک به شکوفايي استعداد افراد است.

پرورش يک نظام و سيستم است که مجموعه اي از عناصر در آن وجود دارد که اين مجموعه عناصر براي رسيدن، به يک هدف که همانا رشد و شکوفايي استعدادها است فعاليت مي کنند.  

  2-Instruction:

آموزش فعاليتي است هدف دار و از پيش تعيين شده که هدف آن فراهم نمودن فرصت ها و موقعيت هايي است که امر يادگيري را تسريع مي کند.  

  3- Teaching:

تدريس، سلسله فعاليتهاي منظم و مرتبي است که از قبل طراحي شده است و هدف آن ايجاد شرايط مطلوب براي تغيير و تسهيل يادگيري توسط فراگيران است. تدريس بدون تعامل معلم و شاگرد بي معني است. تدريس آن فعاليتي است که با حضور معلم در کلاس انجام مي شود.  

  4- Training :

تعليم به معناي کارآموزي است يعني فراگير حرفه يا مهارتي را ياد مي گيرد. هدف از تعليم، شکوفايي همه جانبه استعدادها نيست، بلکه نظم بخشي به فنون و مهارت هايي است که در حرفه اي معين به آن نياز دارد.  

 

 ديدگاههاي مختلف تدريس

 

  1- نگاه توصيفي (Descriptive):

همان نگاه صنعتي به تدريس است يعني انتقال دانش و اطلاعات از سوي معلم به دانش آموزان. معلم متکلم وحده است و دانش آموزان حالت انفعالي دارند. نگاه توصيفي بيشتر در قالب روش سخنراني مي گنجد.  

  2- نگاه موفقيتي ( success):

تدريس عامل موفقيت است. هر تدريس نتيجه اش يادگيري است. يعني وقتي معلمي مي گويد: من فلان درس را تدريس مي کنم بايد طي آن فرايند يادگيري هم صورت گرفته باشد.

  3- نگاه ارادي:

نگاهي رفتارگرايانه است. معلم گاهم هاي آموزش را مشخص مي کند. هدف ها را تعيين مي کند و به فعاليتهاي جهت مي دهد. مثالي ملموس در اين باره کارخانه است ، در کارخانه طي فرايند توليد و مواد خام تبديل به يک محصول قابل استفاده مي شوند. در اين جا يادگيري و تدريس يک فرايند است.  

  4- نگاه هنجاري:

در اين نوع نگاه، همه چيز ديد ارزشي دارند بعنوان مثال چه چيزي را بايد به دانش آموزان آموزش دهيم؟ از چه روش استفاده کنيم.  

  5- نگاه علمي :

در اين نوع نگاه، مفهوم تدريس، منظم و روشن و دقيق بيان مي شود و تدريس يعني مجموعه فعاليتهاي منظم و هدفداري که منجر به تغيير يا يادگيري شاگرد شود. يعني فعاليت ها بايد از قبل طراحي و برنامه ريزي شده باشند.